Multiplique: \sqrt{5} \cdot \sqrt{80}

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar os dois radicais dados e encontrar o resultado simplificado. As informações fornecidas são:
  • Primeiro fator: \sqrt{5}.
  • Segundo fator: \sqrt{80}.
    A tarefa é calcular \sqrt{5}\cdot\sqrt{80} e apresentar o valor simplificado.

Passo 2

Usaremos uma propriedade básica de radicais: para quaisquer números não negativos a e b,
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a b}.
Explicando devagar: escrever \sqrt{a} como a^{1/2} e \sqrt{b} como b^{1/2}. Ao multiplicar, tem-se a^{1/2}b^{1/2}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}. Essa igualdade vale porque estamos sempre lidando com raízes principais (não negativas).

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso produto:
\sqrt{5}\cdot\sqrt{80}=\sqrt{5\cdot80}=\sqrt{400}.

Passo 4

Agora simplificamos \sqrt{400}. Observamos que 400 é um quadrado perfeito porque
400=20^2.
Portanto, pela definição de raiz quadrada principal,
\sqrt{400}=20.
Lembre que \sqrt{\cdot} retorna o valor não negativo, então \sqrt{20^2}=20, não -20.

Passo 5

Método alternativo (útil em provas quando o produto não forma logo um quadrado perfeito): fatorar 80 em um quadrado vezes outro número.
80=16\cdot5.
Então
\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5}.
Multiplicando:
\sqrt{5}\cdot\sqrt{80}=\sqrt{5}\cdot(4\sqrt{5})=4\bigl(\sqrt{5}\bigr)^2=4\cdot5=20.
Nesse passo usei a propriedade \bigl(\sqrt{a}\bigr)^2=a para a\ge0.

Passo 6

Resumo prático para a prova: ou combine os radicais e veja se o produto é um quadrado perfeito ( \sqrt{5}\cdot\sqrt{80}=\sqrt{400}=20) ou extraia fatores quadrados de dentro da raiz ( \sqrt{80}=4\sqrt{5}) e simplifique. Ambos dão o mesmo resultado.

Resposta

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