Calcule: (\sqrt{27})^{2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão (\sqrt{27})^{2} e pede para calcular o seu valor final.

Passo 2

Lembrando a definição: para a\ge 0, \sqrt{a} é o número não negativo cujo quadrado é a. Logo, se \sqrt{a}=b então b^{2}=a, e portanto vale a identidade geral
(\sqrt{a})^{2}=a\qquad(\text{para }a\ge 0).

Passo 3

Aplicando a identidade direta ao caso a=27, temos imediatamente que
(\sqrt{27})^{2}=27.

Passo 4

Para ver o mesmo resultado por manipulação de radicais, fatoramos 27 e usamos propriedades de raíz:
\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}.

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado o resultado anterior, usando (ab)^{2}=a^{2}b^{2} e (\sqrt{3})^{2}=3:
(3\sqrt{3})^{2}=3^{2}\cdot(\sqrt{3})^{2}=9\cdot 3=27.

Passo 6

Outra forma alternativa e curta, usando potências: \sqrt{27}=27^{1/2}, logo
(27^{1/2})^{2}=27^{(1/2)\cdot 2}=27^{1}=27,
pela regra (x^{a})^{b}=x^{ab} (válida para x>0).

Passo 7

Checagem numérica rápida: \sqrt{27}\approx 5{,}196152422 e (5{,}196152422)^{2}\approx 27. Então o resultado faz sentido numericamente também. Vai dar tudo certo na prova — bom trabalho!

Resposta

27

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