municações) ou de distribuições de carga/pressão em uma seção (Engenharia Aeronáutica), surge a integral
I=\iint_{D} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A
onde D é a porção do disco x^{2}+y^{2} \leq 1 situada no primeiro quadrante. Faça um esboço da região e calcule I. (A mudança para coordenadas polares é conveniente.)

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral dupla
I = \iint_{D} x\,y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA
onde D é a porção do disco x^{2}+y^{2}\le1 no primeiro quadrante. Vamos usar mudança para coordenadas polares.

Passo 2

A região D em coordenadas polares é o setor de raio 1 com
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
Em um esboço, é simplesmente o quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
Logo o integrando fica
x\,y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = (r\cos\theta)(r\sin\theta)(r)\,r\,dr\,d\theta = r^{4}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta,
e
I = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}r^{4}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separamos a integral em duas:
\int_{0}^{1}r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5},
e sobra
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta use u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \int_{0}^{1}u\,du = \frac{1}{2}.
Portanto
I = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}

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