(2 pontos) Calcule a integral \iint_{B} x d A onde B=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \pi / 2, \sin x \leq y \leq 1-\sin x\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x \,dA
onde
B = \{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac\pi2,\;\sin x\le y\le 1-\sin x\}.
O conteúdo é integração dupla usando integração iterada em ordem dy\,dx.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada em y depois em x:
\iint_{B} x \,dA = \int_{x=0}^{\pi/2}\Bigl(\int_{y=\sin x}^{1-\sin x}x\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Como x é constante na integração em y,
\int_{y=\sin x}^{1-\sin x}x\,dy = x\bigl[(1-\sin x)-(\sin x)\bigr] = x\,(1-2\sin x).
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\iint_{B} x \,dA = \int_{0}^{\pi/2} x\,(1-2\sin x)\,dx.

Passo 4

Quebramos em duas integrais:
\int_{0}^{\pi/2}x\,dx \;-\;2\int_{0}^{\pi/2}x\sin x\,dx.
Calculamos cada uma:
\int_{0}^{\pi/2}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8},
e para \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}x\sin x\,dx usamos partes com u=x, dv=\sin x\,dx:
\int x\sin x\,dx =-x\cos x+\int\cos x\,dx =-x\cos x+\sin x.
Avaliando de 0 a \pi/2
\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_0^{\pi/2} =(0+1)-(0+0) =1.

Passo 5

Substituindo,
\iint_{B} x \,dA =\frac{\pi^2}{8}-2\cdot1 =\frac{\pi^2}{8}-2.

Resposta

\frac{\pi^2}{8}-2.

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