(2 pontos) Calcule \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} d A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=x e y=\sqrt{3} x e pelo círculo x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}\,dA
onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y=x e y=\sqrt{3}\,x e pelo círculo x^{2}+y^{2}=4. Vamos usar coordenadas polares, pois a integranda depende de x^{2}+y^{2} e a fronteira externa é um círculo.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
As retas y=x e y=\sqrt{3}\,x correspondem a
\theta = \frac{\pi}{4} \quad\text{e}\quad \theta = \frac{\pi}{3},
respectivamente, e o círculo x^{2}+y^{2}=4 vira r=2. Logo D em polares é
0 \le r \le 2, \quad \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Na mudança para polares, a área dA vira r\,dr\,d\theta e a integranda \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2} torna-se (r^{2})^{3/2}=r^{3}. Assim a integral fica
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}\,dA = \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/3} \int_{r=0}^{2} r^{3}\,r\,dr\,d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \int_{0}^{2} r^{4}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2}r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{32}{5}\,d\theta = \frac{32}{5} \biggl[\theta\biggr]_{\pi/4}^{\pi/3} = \frac{32}{5}\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{32}{5}\cdot\frac{\pi}{12} = \frac{32\pi}{60} = \frac{8\pi}{15}.

Resposta

\frac{8\pi}{15}

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