Mostre o Teorema a seguir:
Teorema. Seja
uma sequência de números reais. Se a sequência
converge para
é uma função contínua então a sequência
converge para
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dado: a sequência
de números reais converge para um número real . Ou seja, . - Dado:
é uma função contínua no ponto . - O que pedir: mostrar que a sequência
converge para . Em notação, provar que
Passo 2
Definição precisa de convergência de sequência (a ferramenta que vamos usar).
- Dizemos que
se, para todo , existe um número natural tal que, para todo , vale
- Explicando em palavras: a sequência aproxima-se arbitrariamente de
quando fica suficientemente grande. O representa o quanto de erro aceitamos; dado esse erro, existe um índice a partir do qual todos os termos estão dentro desse erro.
Passo 3
Definição precisa de continuidade de função em um ponto (a outra ferramenta).
- A função
é contínua em significa: para todo existe tal que, para todo com
temos
- Em palavras: se
fica suficientemente perto de (dentro de ), então fica suficientemente perto de (dentro de ). Observe que tanto na definição de convergência quanto na de continuidade aparece essa lógica “dado existe …”.
Passo 4
Ideia do método de prova (rápida orientação antes de escrever formalmente).
- Queremos mostrar que, dado
, existe tal que, para , temos . - Usaremos a continuidade de
em para traduzir o pedido numa condição sobre : continuidade dá um tal que . - Em seguida, usaremos o fato de que
para garantir que, a partir de algum , . Juntando as duas implicações obtemos para .
Passo 5
Prova formal epsilon–N seguindo a ideia anterior.
- Seja arbitrário
. - Como
é contínua em , pela definição de continuidade existe um número tal que
- Agora usemos a convergência
. Pela definição de convergência, para esse existe tal que, para todo ,
- Combine as duas implicações: para todo
temos ; pela escolha de (vinda da continuidade) isso implica . - Concluímos que, dado
, existe tal que, para todo , . Isso é exatamente a definição de
- Portanto a prova está completa: a sequência
converge para .
Passo 6
Intuição, comentários adicionais e exemplos para fixar a ideia.
- Intuição simples: se os termos
Esta
. Tome
, então
, mas
para todo
, logo
. Isso mostra que a hipótese de continuidade é necessária.]
Resposta
A sequência
converge para
.