Mostre o Teorema a seguir:
Teorema. Seja a_{n} uma sequência de números reais. Se a sequência a_{n} converge para L e f é uma função contínua então a sequência f\left(a_{n}\right) converge para f(L).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dado: a sequência \{a_{n}\} de números reais converge para um número real L. Ou seja, \displaystyle a_{n}\to L.
  • Dado: f é uma função contínua no ponto L.
  • O que pedir: mostrar que a sequência \{f(a_{n})\} converge para f(L). Em notação, provar que
\lim_{n\to\infty} f(a_{n}) = f(L).

Passo 2

Definição precisa de convergência de sequência (a ferramenta que vamos usar).
  • Dizemos que \displaystyle a_{n}\to L se, para todo \varepsilon>0, existe um número natural N tal que, para todo n\ge N, vale
|a_{n}-L|<\varepsilon.
  • Explicando em palavras: a sequência aproxima-se arbitrariamente de L quando n fica suficientemente grande. O \varepsilon representa o quanto de erro aceitamos; dado esse erro, existe um índice N a partir do qual todos os termos estão dentro desse erro.

Passo 3

Definição precisa de continuidade de função em um ponto (a outra ferramenta).
  • A função f é contínua em L significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x com
|x-L|<\delta,
temos
|f(x)-f(L)|<\varepsilon.
  • Em palavras: se x fica suficientemente perto de L (dentro de \delta), então f(x) fica suficientemente perto de f(L) (dentro de \varepsilon). Observe que tanto na definição de convergência quanto na de continuidade aparece essa lógica “dado \varepsilon existe …”.

Passo 4

Ideia do método de prova (rápida orientação antes de escrever formalmente).
  • Queremos mostrar que, dado \varepsilon>0, existe N tal que, para n\ge N, temos |f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon.
  • Usaremos a continuidade de f em L para traduzir o pedido |f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon numa condição sobre |a_{n}-L|: continuidade dá um \delta>0 tal que |x-L|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(L)|<\varepsilon.
  • Em seguida, usaremos o fato de que a_{n}\to L para garantir que, a partir de algum N, |a_{n}-L|<\delta. Juntando as duas implicações obtemos |f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon para n\ge N.

Passo 5

Prova formal epsilon–N seguindo a ideia anterior.
  • Seja arbitrário \varepsilon>0.
  • Como f é contínua em L, pela definição de continuidade existe um número \delta>0 tal que
\text{se }|x-L|<\delta\text{ então }|f(x)-f(L)|<\varepsilon.ã
  • Agora usemos a convergência \displaystyle a_{n}\to L. Pela definição de convergência, para esse \delta>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_{n}-L|<\delta.
  • Combine as duas implicações: para todo n\ge N temos |a_{n}-L|<\delta; pela escolha de \delta (vinda da continuidade) isso implica |f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon.
  • Concluímos que, dado \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, |f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de
\lim_{n\to\infty} f(a_{n}) = f(L).
  • Portanto a prova está completa: a sequência \{f(a_{n})\} converge para f(L).

Passo 6

Intuição, comentários adicionais e exemplos para fixar a ideia.
  • Intuição simples: se os termos a_{n}\) se aproximam de \(L\) e \(f\) não "faz pulos" em \(L\) (isso é a continuidade), então aplicar \(f\) aos termos também aproxima de \(f(L)\). A continuidade garante que pequenas variações em \(x\) resultam em pequenas variações em \(f(x)\). - Exemplo concreto: tome \(a_{n}=\dfrac{1}{n}\), então \(a_{n}\to 0\). Com \(f(x)=x^{2}\), contínua em todo lugar, temos \(f(a_{n})=\dfrac{1}{n^{2}}\to 0=f(0)\). Isso segue do teorema que provamos. - Contraexemplo quando \(f\) não é contínua: defina \[f(x)=\begin{cases} 0, & x\neq 0,\\[4pt] 1, & x=0. \end{cases}
Esta f\] não é contínua em \(0. Tome a_{n}=\dfrac{1}{n}, então a_{n}\to 0, mas f(a_{n})=0 para todo n, logo f(a_{n})\to 0\neq f(0)=1. Isso mostra que a hipótese de continuidade é necessária.]

Resposta

A sequência f(a_{n}) converge para f(L).

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