Mostre o Teorema a seguir:
Teorema. Seja a_{n} uma sequência de números reais. Se a sequência a_{n} converge para L e f é uma função contínua então a sequência f\left(a_{n}\right) converge para f(L).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Dado: a sequência \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty} de números reais converge para um número real \,L. Ou seja, sabemos que \lim_{n\to\infty} a_{n}=L.
  • Dado: f é uma função contínua (vamos entender isto como "contínua no ponto \,L", que é o que a prova precisa).
  • Pedido: provar que a sequência \{f(a_{n})\}_{n=1}^{\infty} converge para f(L). Em símbolos, mostrar que
\lim_{n\to\infty} f(a_{n}) = f(L).

Passo 2

Definição precisa do que significa \lim_{n\to\infty} a_{n}=L (ou seja, convergência de sequência). Vou explicar bem devagar.
  • Dizemos que \lim_{n\to\infty} a_{n}=L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que para todo n\ge N vale
|a_{n}-L|<\varepsilon.
  • O que isso quer dizer em palavras? Significa que, dado qualquer “raio” \varepsilon ao redor de L, todas as parcelas da sequência a partir de algum índice N ficam dentro desse raio. Quanto menor \varepsilon, mais adiante (talvez maior N) precisamos ir, mas existe sempre esse N.

Passo 3

Definição precisa de continuidade no ponto \,L (epsilon-delta). Isso é essencial para usar a hipótese sobre f.
  • A função f é contínua em L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x no domínio de f,
|x-L|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-f(L)|<\varepsilon.
  • Em palavras: podemos garantir que f(x) fique tão perto de f(L) quanto quisermos (dado \varepsilon), desde que escolhamos x suficientemente perto de L (dentro de uma distância \delta).

Passo 4

Estratégia do argumento (sem entrar ainda nas quantificações complicadas): juntar as duas definições. Vou transformar a continuidade (que dá um \delta a partir de um \varepsilon) e usar a convergência de a_{n} para garantir que, para n grande, |a_{n}-L|<\delta. Isso vai nos dar |f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon. Agora faço isso formalmente.
Prova formal passo a passo:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Como f é contínua em L, pela definição de continuidade existe um \delta>0 tal que, para todo x,
|x-L|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-f(L)|<\varepsilon.
Agora usemos que \lim_{n\to\infty} a_{n}=L. Pela definição de convergência, para esse mesmo \delta>0 existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
|a_{n}-L|<\delta.
Combinando as duas implicações: para todo n\ge N temos |a_{n}-L|<\delta, e então a condição da continuidade garante
|f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon.
Portanto, mostramos que para o \varepsilon>0 escolhido existe N tal que para todo n\ge N vale |f(a_{n})-f(L)|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty} f(a_{n}) = f(L). Assim a prova está completa.

Passo 5

Comentário didático sobre as trocas de quantificadores (onde a galera costuma se confundir):
  • Primeiro escolhemos um \varepsilon>0 — isto significa "quero forçar f(a_n) a ficar dentro de \varepsilon de f(L)".
  • Continuidade nos dá então um \delta>0 (dependendo desse \varepsilon) que controla a entrada: se x estiver dentro de \delta de L, então f(x) estará dentro de \varepsilon de f(L).
  • Convergência da sequência nos dá um N (dependendo de \delta) tal que, para n\ge N, a_n está dentro de \delta de L.
  • Juntando tudo obtemos: para n\ge N, f(a_n) está dentro de \varepsilon de f(L). Esse encadeamento de "dado \varepsilon existe \delta, dado \delta existe N" é típico em argumentos epsilon-delta com sequências.

Passo 6

Exemplo concreto, para fixar a ideia:
  • Tome a_{n}=\dfrac{1}{n}. Então \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
  • Tome f(x)=x^{2}, que é contínua em todo ponto. Então f(a_{n})=\dfrac{1}{n^{2}}.
  • Dado \varepsilon>0, basta escolher N>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}. Para esse N, se n\ge N então
|f(a_{n})-f(0)|=\left|\dfrac{1}{n^{2}}-0\right|=\dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon.
  • Logo \lim_{n\to\infty} f(a_{n})=0=f(0). Esse exemplo mostra como às vezes conseguimos dar um N explícito; na prova geral usamos apenas a existência de N garantida pela convergência.

Passo 7

Observação extra útil para prova/edição: a equivâlencia sequencial da continuidade diz que "f é contínua em L se e somente se para toda sequência x_n\to L vale f(x_n)\to f(L)". O que provamos aqui é exatamente o sentido “continuidade em L => preservação de limites de sequências que convergem para L”. O outro sentido (a partir de sequências concluir continuidade) também é verdadeiro e é uma alternativa de definição em espaços métricos; em exames geralmente basta a prova que fizemos.

Resposta

A sequência f(a_{n}) converge para f(L).

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