Se n \in \mathbb{Z}_{+}e I_{n}=\int_{0}^{\pi / 2}(\cos x)^{n} d x, mostre que:
a) n I_{n}=(n-1) I_{n-2}, para todo inteiro n \geq 2.
b) I_{2 k}=\frac{(2 k)!}{\left(2^{k} k!\right)} \frac{\pi}{2}, para todo inteiro k \geq 0, e I_{2 k-1}=\frac{\left(2^{k} k!\right)^{2}}{2 k(2 k)!}, para todo inteiro k \geq 1.

Passo 1

O enunciado dá que n\in\mathbb{Z}_{+} e define
I_{n}=\int_{0}^{\pi/2}(\cos x)^{n}\,dx.
Pede-se duas coisas:
a) Mostrar que, para todo inteiro n\ge 2,
n I_{n}=(n-1) I_{n-2}.
b) Deduzir fórmulas fechadas para I_{2k} e I_{2k-1}, ou seja mostrar que, para todo inteiro k\ge 0,
I_{2k}=\frac{(2k)!}{\bigl(2^{k} k!\bigr)^{2}}\cdot\frac{\pi}{2},
e para todo inteiro k\ge 1,
I_{2k-1}=\frac{\bigl(2^{k} k!\bigr)^{2}}{2k(2k)!}.

Passo 2

Vamos provar a relação de recorrência usando integração por partes. Primeiro, um lembrete rápido e intuitivo da fórmula de integração por partes: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos as partes de forma a reduzir a potência de \cos x. Escrevemos
I_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cdot\cos x\,dx.
Tomamos u=\cos^{n-1}x e dv=\cos x\,dx. Então
du=(n-1)\cos^{\,n-2}x\cdot(-\sin x)\,dx=-(n-1)\sin x\cos^{\,n-2}x\,dx
e
v=\int \cos x\,dx=\sin x.
Aplicando integração por partes:
I_{n}=\Bigl[\cos^{n-1}x\sin x\Bigr]_{0}^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2}\sin x\cdot\bigl(-(n-1)\sin x\cos^{\,n-2}x\bigr)\,dx.
Agora avaliamos o termo de fronteira: em x=0, \sin 0=0 e em x=\pi/2, \cos^{n-1}(\pi/2)=0; portanto o termo de fronteira é zero. Assim
I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\cos^{\,n-2}x\,dx.
Usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}x=1-\cos^{2}x para dividir a integral:
I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos^{2}x\bigr)\cos^{\,n-2}x\,dx=(n-1)\bigl(I_{n-2}-I_{n}\bigr).
Reorganizando,
I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\quad\Longrightarrow\quad nI_{n}=(n-1)I_{n-2}.
Isso prova a parte (a).

Passo 3

Agora usamos a relação de recorrência para obter as fórmulas fechadas. Da recorrência temos
I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}.
Vamos tratar primeiro os casos pares. Para n=2k aplicamos a relação sucessivamente:
I_{2k}=\frac{2k-1}{2k}I_{2k-2}=\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2k-3}{2k-2}I_{2k-4}=\cdots=\left(\prod_{j=1}^{k}\frac{2j-1}{2j}\right)I_{0}.
Calculamos I_{0} diretamente:
I_{0}=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}.
Logo
I_{2k}=\left(\prod_{j=1}^{k}\frac{2j-1}{2j}\right)\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Precisamos escrever o produto em termos de fatoriais. Observações úteis sobre duplos fatoriais:
(2k)!!=2\cdot4\cdot6\cdots(2k)=2^{k}k!,\qquad (2k-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1).
Também vale a identidade
(2k)!= (2k)!!\,(2k-1)!! = 2^{k}k!\,(2k-1)!!,
da qual segue
(2k-1)!!=\frac{(2k)!}{2^{k}k!}.
Agora calcule o produto
\prod_{j=1}^{k}\frac{2j-1}{2j}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}=\frac{\dfrac{(2k)!}{2^{k}k!}}{2^{k}k!}=\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}.
Portanto
I_{2k}=\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{(2k)!}{\bigl(2^{k}k!\bigr)^{2}}\cdot\frac{\pi}{2},
que é a fórmula desejada para I_{2k}.

Passo 5

Agora o caso ímpar. Para n=2k-1 (com k\ge 1) aplicamos a recorrência até chegar em I_{1}:
I_{2k-1}=\frac{2k-2}{2k-1}I_{2k-3}=\frac{2k-2}{2k-1}\cdot\frac{2k-4}{2k-3}I_{2k-5}=\cdots=\left(\prod_{j=1}^{k-1}\frac{2j}{2j+1}\right)I_{1}.
Calculamos I_{1} diretamente:
I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\Bigl[\sin x\Bigr]_{0}^{\pi/2}=1.
Assim
I_{2k-1}=\prod_{j=1}^{k-1}\frac{2j}{2j+1}.

Passo 6

Escrevemos esse produto em termos de fatoriais. O numerador é
\prod_{j=1}^{k-1}2j = 2^{\,k-1}(k-1)!.
O denominador é
\prod_{j=1}^{k-1}(2j+1)=3\cdot5\cdots(2k-1)=\frac{(2k-1)!!}{1}=(2k-1)!!.
Usando novamente (2k-1)!!=\dfrac{(2k)!}{2^{k}k!} obtemos
I_{2k-1}=\frac{2^{\,k-1}(k-1)!}{(2k-1)!!} =\frac{2^{\,k-1}(k-1)!\,2^{k}k!}{(2k)!} =\frac{2^{2k-1}k!(k-1)!}{(2k)!}.
Agora simplificamos usando (k-1)! = \dfrac{k!}{k}:
I_{2k-1}=\frac{2^{2k-1}k!\,\dfrac{k!}{k}}{(2k)!} =\frac{2^{2k-1}(k!)^{2}}{k(2k)!}.
Reescrevendo o fator 2^{2k-1} como \dfrac{(2^{k}k!)^{2}}{2k(2k)!} obtemos exatamente a forma pedida:
I_{2k-1}=\frac{\bigl(2^{k}k!\bigr)^{2}}{2k(2k)!}.

Resposta

nI_{n}=(n-1)I_{n-2}.\n
I_{2k}=\dfrac{(2k)!}{\bigl(2^{k}k!\bigr)^{2}}\cdot\dfrac{\pi}{2}.\n
I_{2k-1}=\dfrac{\bigl(2^{k}k!\bigr)^{2}}{2k(2k)!}.

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