Se
e
, mostre que:
a)
, para todo inteiro
.
b)
, para todo inteiro
, e
, para todo inteiro
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá que
e define
Pede-se duas coisas:
a) Mostrar que, para todo inteiro ,
a) Mostrar que, para todo inteiro
b) Deduzir fórmulas fechadas para
e
, ou seja mostrar que, para todo inteiro
,
e para todo inteiro
,
Passo 2
Vamos provar a relação de recorrência usando integração por partes. Primeiro, um lembrete rápido e intuitivo da fórmula de integração por partes: se
e
são funções diferenciáveis, então
Escolhemos as partes de forma a reduzir a potência de
. Escrevemos
Tomamos
e
. Então
e
Aplicando integração por partes:
Agora avaliamos o termo de fronteira: em
,
e em
,
; portanto o termo de fronteira é zero. Assim
Usamos a identidade trigonométrica
para dividir a integral:
Reorganizando,
Isso prova a parte (a).
Passo 3
Agora usamos a relação de recorrência para obter as fórmulas fechadas. Da recorrência temos
Vamos tratar primeiro os casos pares. Para
aplicamos a relação sucessivamente:
Calculamos
diretamente:
Logo
Passo 4
Precisamos escrever o produto em termos de fatoriais. Observações úteis sobre duplos fatoriais:
Também vale a identidade
da qual segue
Agora calcule o produto
Portanto
que é a fórmula desejada para
.
Passo 5
Agora o caso ímpar. Para
(com
) aplicamos a recorrência até chegar em
:
Calculamos
diretamente:
Assim
Passo 6
Escrevemos esse produto em termos de fatoriais. O numerador é
O denominador é
Usando novamente
obtemos
Agora simplificamos usando
:
Reescrevendo o fator
como
obtemos exatamente a forma pedida: