Mostre que, se f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} é uma função contínua, definida positiva e existe c \in[a, b] tal que f\text{(c)}>0, então
\int_{a}^{b} f(x) d x>0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: f:[a,b]\to\mathbb{R} é contínua em [a,b].
  • Dado: f é definida positiva, isto é, assumo que f(x)\ge 0 para todo x\in[a,b].
  • Dado: existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}>0.
  • Pedido: provar que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx>0.

Passo 2

Usando a continuidade em c para obter um vizinho onde f continua positiva.
Como f é contínua em c e f\text{(c)}>0, posso escolher
\varepsilon=\frac{f\text{(c)}}{2}>0.
Pela definição de continuidade, existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-c|<\delta, vale
|f(x)-f\text{(c)}|<\varepsilon.
Isso implica, para tais x,
f(x)>f\text{(c)}-\varepsilon = f\text{(c)}-\frac{f\text{(c)}}{2}=\frac{f\text{(c)}}{2}.
Ou seja, em toda a vizinhança (c-\delta,c+\delta) (interseção com [a,b]) a função é estritamente maior do que \dfrac{f\text{(c)}}{2}.

Passo 3

Construir um subintervalo fechado onde f tem um mínimo estritamente positivo.
Escolho \delta'=\delta/2>0 e defino
\alpha=\max\{a,c-\delta'\},\qquad \beta=\min\{b,c+\delta'\}.
Por construção \alpha<\beta (pois c\in(\alpha,\beta)) e [ \alpha,\beta]\subset (c-\delta,c+\delta)\cap[a,b]. Pelo Passo 2, para todo x\in[\alpha,\beta] temos
f(x)\ge m\equiv\frac{f\text{(c)}}{2}>0.
Aqui m é uma constante positiva.

Passo 4

Comparar integrais e calcular a área mínima.
Como f(x)\ge m em [\alpha,\beta], pela propriedade de monotonicidade da integral (se g(x)\le h(x) então \int g\le\int h) segue
\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx \ge \int_{\alpha}^{\beta} m\,dx.
Mas a integral da constante m é fácil de calcular:
\int_{\alpha}^{\beta} m\,dx = m(\beta-\alpha).
Como m>0 e \beta-\alpha>0, temos m(\beta-\alpha)>0. Portanto
\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx \ge m(\beta-\alpha)>0.

Passo 5

Concluir para o integral em [a,b].
A integral em [a,b] contém a integral sobre o subintervalo [\alpha,\beta], e como a função é não negativa fora desse subintervalo temos
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx.
Pelo Passo 4 a integral à direita é estritamente positiva, portanto
\int_{a}^{b} f(x)\,dx>0.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx>0

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