Mostre que, se
é uma função contínua, definida positiva e existe
tal que
, então
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
é contínua em . - Dado:
é definida positiva, isto é, assumo que para todo . - Dado: existe
tal que . - Pedido: provar que
Passo 2
Usando a continuidade em
para obter um vizinho onde
continua positiva.
Como
é contínua em
e
, posso escolher
Pela definição de continuidade, existe
tal que, para todo
com
, vale
Isso implica, para tais
,
Ou seja, em toda a vizinhança
(interseção com
) a função é estritamente maior do que
.
Passo 3
Construir um subintervalo fechado onde
tem um mínimo estritamente positivo.
Escolho
e defino
Por construção
(pois
) e
. Pelo Passo 2, para todo
temos
Aqui
é uma constante positiva.
Passo 4
Comparar integrais e calcular a área mínima.
Como
em
, pela propriedade de monotonicidade da integral (se
então
) segue
Mas a integral da constante
é fácil de calcular:
Como
e
, temos
. Portanto
Passo 5
Concluir para o integral em
.
A integral em
contém a integral sobre o subintervalo
, e como a função é não negativa fora desse subintervalo temos
Pelo Passo 4 a integral à direita é estritamente positiva, portanto