Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+4\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \,x+1\,.
  • O denominador é \left(x^{2}+2x+4\right)^{2}, ou seja, a quadrado de um polinômio quadrático \,x^{2}+2x+4\,.
  • Observação útil (apenas informação, sem resolver ainda): a derivada do polinômio do denominador é
\frac{d}{dx}\left(x^{2}+2x+4\right)=2x+2=2(x+1),
então o numerador \,x+1\, está relacionado com essa derivada.

Passo 2

Motivação do método (aula curtinha): quando vemos uma integral do tipo
\int \frac{f'(x)}{\bigl(f(x)\bigr)^{n}}\,dx
é muito conveniente usar a substituição u=f(x), porque então du=f'(x)\,dx e a integral vira uma potência simples de u. Aqui temos justamente essa situação aproximada, porque f(x)=x^{2}+2x+4 tem derivada f'(x)=2(x+1). Vamos usar a substituição
u = x^{2}+2x+4.
Agora calculemos du. Diferenciando ambos os lados:
du = (2x+2)\,dx = 2(x+1)\,dx.
Isolando (x+1)\,dx obtemos
(x+1)\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Troca das variáveis na integral: substituindo u e (x+1)\,dx na integral original,
\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+4\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Fatorando a constante 1/2,
= \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Agora aplicamos a regra de potências para integrais: para m\neq -1,
\int u^{m}\,du = \frac{u^{m+1}}{m+1} + C.
Aqui m=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1}+C.
Multiplicando pela constante 1/2,
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{2}u^{-1} + C.

Passo 4

Voltando à variável x (desfazendo a substituição u=x^{2}+2x+4), obtemos a primitiva
-\frac{1}{2}\,u^{-1}+C = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}+C = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+2x+4}+C.
Pequena verificação por derivação (pra ficar seguro): derivando
F(x)=-\frac{1}{2}\frac{1}{x^{2}+2x+4}
usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)\cdot\frac{2x+2}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}} = \frac{x+1}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2(x^{2}+2x+4)}+C

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