Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
, ou seja, a quadrado de um polinômio quadrático . - Observação útil (apenas informação, sem resolver ainda): a derivada do polinômio do denominador é
então o numerador
está relacionado com essa derivada.
Passo 2
Motivação do método (aula curtinha): quando vemos uma integral do tipo
é muito conveniente usar a substituição
, porque então
e a integral vira uma potência simples de
. Aqui temos justamente essa situação aproximada, porque
tem derivada
. Vamos usar a substituição
Agora calculemos
. Diferenciando ambos os lados:
Isolando
obtemos
Passo 3
Troca das variáveis na integral: substituindo
e
na integral original,
Fatorando a constante
,
Agora aplicamos a regra de potências para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pela constante
,
Passo 4
Voltando à variável
(desfazendo a substituição
), obtemos a primitiva
Pequena verificação por derivação (pra ficar seguro): derivando
usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.