Para n>=1, pode-se provar que
S_{n}=\sum_{i=1}^{n} i! é um número ímpar?
Verdadeiro Falso

Passo 1

O enunciado define, para cada n\ge1,
S_{n} \;=\;\sum_{i=1}^{n} i!
e pergunta se, para todo n\ge1, S_{n} é um número ímpar. O conteúdo envolve estudo de paridade (números pares e ímpares) aplicado a somas de fatoriais.

Passo 2

Observação sobre paridade de fatoriais: para todo i\ge2, o fatorial
i! = 1\cdot2\cdot3\cdots i
contém o fator 2, logo é um número par. Em outras palavras,
\text{se }i\ge2,\quad i!\equiv0\pmod2.

Passo 3

Como cada termo i! com i\ge2 é par, a soma
\sum_{i=2}^{n} i!
é soma de números pares, portanto também é par. Assim podemos escrever
\sum_{i=2}^{n} i! \equiv 0\pmod2.

Passo 4

Agora observe que
S_{n} \;=\;\sum_{i=1}^{n} i! \;=\;1! + \sum_{i=2}^{n} i!.
Como 1! = 1 é ímpar e \sum_{i=2}^{n} i! é par, temos
S_{n} = 1 + (\text{par}) \equiv 1\pmod2,
ou seja, S_{n} é ímpar para todo n\ge1.

Resposta

Verdadeiro.

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