Para \mathbf{n} \boldsymbol{>} \boldsymbol{=} \mathbf{0}, pode-se provar que a_{n}=7^{n}-1 é um número divisível por 6?
Verdadeiro Falso

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\ge0,
a_{n}=7^{n}-1
é divisível por 6.
O conteúdo aqui é prova por indução matemática.

Passo 2

Verificamos a base da indução em n=0.
a_{0}=7^{0}-1=1-1=0,
e 0 é múltiplo de 6. Logo, a proposição vale para n=0.

Passo 3

Suponha, como hipótese de indução, que para um certo k\ge0 já tenhamos
a_{k}=7^{k}-1
divisível por 6. Ou seja, existe um inteiro m tal que
7^{k}-1=6m.

Passo 4

Agora examinamos a_{k+1}:
a_{k+1}=7^{k+1}-1=7\cdot7^{k}-1.
Reescrevendo,
7\cdot7^{k}-1=7\bigl(7^{k}-1\bigr)+6.
Pela hipótese de indução, 7^{k}-1=6m, então
7\bigl(7^{k}-1\bigr)+6 = 7\cdot(6m)+6 = 6\,(7m)+6 = 6\,(7m+1),
que é múltiplo de 6. Assim, a_{k+1} também é divisível por 6.

Passo 5

Pela base e pelo passo indutivo, concluímos que 7^{n}-1 é divisível por 6 para todo n\ge0.

Resposta

Verdadeiro.

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