Mostre o seguinte:
(b) Seja A um conjunto não vazio com a seguinte propriedade: x \in A \Leftrightarrow-x \in A. Então:
\{\text { funções pares em } A\} \oplus\{\text { funções ímpares em } A\}=\mathcal{F}(A, \mathbb{R})çõçõí

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \mathcal{F}(A,\mathbb{R}) de todas as funções f\colon A\to\mathbb{R}, onde A é não vazio e satisfaz x\in A \Leftrightarrow -x\in A. Definimos \mathcal{E}=\{funções pares em A\} e \mathcal{O}=\{funções ímpares em A\}.
O objetivo é provar que
\mathcal{F}(A,\mathbb{R}) \;=\;\mathcal{E}\oplus\mathcal{O},
isto é, todo f\in\mathcal{F}(A,\mathbb{R}) se escreve de modo único como f=g+h com g\in\mathcal{E} e h\in\mathcal{O}.

Passo 2

Mostramos primeiro que \mathcal{E} e \mathcal{O} são subespaços de \mathcal{F}(A,\mathbb{R}).
  1. O zero da família \mathcal{F}(A,\mathbb{R}) é a função 0(x)=0. Claramente 0(-x)=0(x), logo 0\in\mathcal{E}\cap\mathcal{O}.
  2. Se g_1,g_2\in\mathcal{E} e \alpha,\beta\in\mathbb{R}, então
(\alpha g_1+\beta g_2)(-x) =\alpha g_1(-x)+\beta g_2(-x) =\alpha g_1(x)+\beta g_2(x) =(\alpha g_1+\beta g_2)(x),
então \alpha g_1+\beta g_2\in\mathcal{E}. Analogamente para \mathcal{O}: se h_1,h_2 são ímpares então
(\alpha h_1+\beta h_2)(-x) =\alpha(-h_1(x))+\beta(-h_2(x)) =-\bigl(\alpha h_1(x)+\beta h_2(x)\bigr),
logo \alpha h_1+\beta h_2\in\mathcal{O}.

Passo 3

Vamos mostrar que qualquer f\in\mathcal{F}(A,\mathbb{R}) decompõe-se em parte par mais parte ímpar. Definimos
f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \quad f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
Então, para todo x\in A:
1.
f_e(-x) =\frac{f(-x)+f(x)}{2} =f_e(x),
logo f_e é par.
2.
f_o(-x) =\frac{f(-x)-f(x)}{2} =-\frac{f(x)-f(-x)}{2} =-f_o(x),
logo f_o é ímpar.
3. Somando as duas definições:
f_e(x)+f_o(x) =\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} =f(x).
Portanto f=f_e+f_o com f_e\in\mathcal{E} e f_o\in\mathcal{O}, o que prova \mathcal{F}(A,\mathbb{R})=\mathcal{E}+\mathcal{O}.

Passo 4

Para concluir que é soma direta, basta mostrar \mathcal{E}\cap\mathcal{O}=\{0\}. Se g\in\mathcal{E}\cap\mathcal{O}, então para todo x\in A temos
g(-x)=g(x) \quad\text{e}\quad g(-x)=-g(x).
Comparando, obtemos g(x)=-g(x), ou seja 2g(x)=0, de onde g(x)=0. Logo g é a função zero, e a interseção é trivial.

Resposta

Como \mathcal{E}+\mathcal{O}=\mathcal{F}(A,\mathbb{R}) e \mathcal{E}\cap\mathcal{O}=\{0\}, segue
\{\text{funções pares em }A\}\oplus\{\text{funções ímpares em }A\} =\mathcal{F}(A,\mathbb{R}).çõçõí

Exercícios relacionados