Mostre o seguinte:
(b) Seja
um conjunto não vazio com a seguinte propriedade:
. Então:
(b) Seja
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as funções
, onde
é não vazio e satisfaz
. Definimos
funções pares em
e
funções ímpares em
.
O objetivo é provar que
O objetivo é provar que
isto é, todo
se escreve de modo único como
com
e
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
e
são subespaços de
.
- O zero da família
é a função . Claramente , logo . - Se
e , então
então
. Analogamente para
: se
são ímpares então
logo
.
Passo 3
Vamos mostrar que qualquer
decompõe-se em parte par mais parte ímpar. Definimos
Então, para todo
:
1.
1.
logo
é par.
2.
2.
logo
é ímpar.
3. Somando as duas definições:
3. Somando as duas definições:
Portanto
com
e
, o que prova
.
Passo 4
Para concluir que é soma direta, basta mostrar
. Se
, então para todo
temos
Comparando, obtemos
, ou seja
, de onde
. Logo
é a função zero, e a interseção é trivial.
Resposta
Como
e
, segue