! para todo
Passo 1
Resumo do enunciado e ferramentas: Queremos provar que a desigualdade
vale para todo
. O que vamos usar? A definição de fatorial (
) e o princípio da indução matemática.
Passo 2
Verificação da base da indução: Para
temos
e
. De fato,
, ou seja, a desigualdade vale em
.
Passo 3
Passo indutivo — hipótese de indução: Suponha que em algum
a desigualdade seja verdadeira, isto é, suponha que
.
Passo 4
Passo indutivo — conclusão para
: Partimos de
Pela hipótese de indução,
Como
, temos
e, portanto,
. Logo,
Combinando as desigualdades, obtemos
.
Passo 5
Conclusão pelo princípio da indução: Como a base
vale e o passo indutivo está garantido, concluímos que
para todo
.
Resposta
Para todo
, vale
.