2^n ! para todo n >= 4, n in N

Passo 1

Resumo do enunciado e ferramentas: Queremos provar que a desigualdade 2^n < n! vale para todo n >= 4, n in N. O que vamos usar? A definição de fatorial ( n! = 1cdot2cdots n) e o princípio da indução matemática.

Passo 2

Verificação da base da indução: Para n=4 temos 2^4 = 16 e 4! = 24. De fato, 16 < 24, ou seja, a desigualdade vale em n=4.

Passo 3

Passo indutivo — hipótese de indução: Suponha que em algum k >= 4 a desigualdade seja verdadeira, isto é, suponha que 2^k < k!.

Passo 4

Passo indutivo — conclusão para k+1: Partimos de
2^k+1 = 2 cdot 2^k
Pela hipótese de indução,
2^k+1 < 2 cdot k!
Como k >= 4, temos k+1 >= 5 e, portanto, 2 <= k+1. Logo,
2 cdot k! <= (k+1) cdot k! = (k+1)!
Combinando as desigualdades, obtemos 2^k+1 < (k+1)!.

Passo 5

Conclusão pelo princípio da indução: Como a base n=4 vale e o passo indutivo está garantido, concluímos que 2^n < n! para todo n >= 4.

Resposta

Para todo n >= 4, vale 2^n < n!.

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