Dada a função
f(x, y)=lx^2+y^2 se(x, y) neq(0,0), 2 se(x, y)=(0,0)
verifique se ela é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função de duas variáveis
f(x,y)= x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 2,&(x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). Este conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis e vamos usar a definição de limite e continuidade.

Passo 2

Para uma função de duas variáveis ser contínua em (0,0), precisamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)
Como f(0,0)=2, nosso objetivo é calcular o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 3

Para (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=x2+y2. Uma forma prática de calcular o limite é usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
logo
f(x,y)=r^2(cos^2theta+sin^2theta)=r^2
Quando (x,y)→(0,0) equivale a r→0, logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=limrto0r^2=0

Passo 4

O valor do limite é 0, mas f(0,0)=2. Como
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)neq f(0,0),
a função não satisfaz o critério de continuidade em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

Exercícios relacionados