(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
.
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar várias propriedades dos operadores diferenciais (gradiente, divergência e rotacional) aplicados a funções escalares e campos vetoriais. Vamos usar definição componente a componente e as regras básicas de derivação para provar cada identidade.
Passo 2
Para provar a linearidade do gradiente, escrevemos na forma componente: se u e v são escalares e α, β constantes, então
Como derivada é linear, cada componente é α∂u/∂x+β∂v/∂x etc., ou seja
Passo 3
Para a regra do produto de escalares, usamos que ∂(u v)/∂x = v ∂u/∂x + u ∂v/∂x e análogo nas outras direções. Assim
Passo 4
Para o quociente, aplicamos a regra de derivação de u/v em cada componente:
e o mesmo para y e z. Portanto
Passo 5
A linearidade da divergência segue de forma análoga à do gradiente, usando div(F)=∂F₁/∂x+∂F₂/∂y+∂F₃/∂z. Logo
Passo 6
Para mostrar que div(rot F)=0, escrevemos rot F = (∂F₃/∂y−∂F₂/∂z, ∂F₁/∂z−∂F₃/∂x, ∂F₂/∂x−∂F₁/∂y) e então
e cada termo cancela por valer derivações mistas iguais (Clairaut), resultando 0.
Passo 7
Para div(F×G), usamos a identidade componente-a-componente ou o determinante simbólico. O resultado padrão é
Passo 8
Para o rotacional de uF, aplicamos a regra do produto vetorial em cada componente:
Passo 9
A linearidade do rotacional é direta: cada componente de rot(αF+βG) é combinação linear das derivadas de F e G, logo
Passo 10
Para div(v∇u), lembramos que ∇u é um campo vetorial. Então por div(campo vetorial escalar-vetorial) vale
Mas div(∇u)=Δu (laplaciano), dando
Passo 11
Finalmente, para div(uF), usamos a mesma ideia que no item anterior:
Resposta
Todas as identidades (a)–(j) foram demonstradas conforme solicitado.