(a) nabla(alpha u+beta v)=alpha nabla u+beta nabla v
(b) nabla(u v)=v nabla u+u nabla v
© nabla(u / v)=(1 / v^2)[v nabla u-u nabla v]
(d) div(alpha F+beta G)=alpha div F+beta div G
(e) div(rot(F))=0
(f) div(F times G)=G cdot rot(F)-F cdot rot(G)
(g) rot(u F)=u rot(F)+nabla u times F
(h) rot(alpha F+beta G)=alpha rot(F)+beta rot(G)
(i) div(v nabla u)=v De
(j) div(u F)=nabla u cdot F+u div(F).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar várias propriedades dos operadores diferenciais (gradiente, divergência e rotacional) aplicados a funções escalares e campos vetoriais. Vamos usar definição componente a componente e as regras básicas de derivação para provar cada identidade.

Passo 2

Para provar a linearidade do gradiente, escrevemos na forma componente: se u e v são escalares e α, β constantes, então
nabla(alpha u+beta v)=(partial (alpha u+beta v)partial x,partial (alpha u+beta v)partial y,partial (alpha u+beta v)partial z)
Como derivada é linear, cada componente é α∂u/∂x+β∂v/∂x etc., ou seja
alphanabla u+betanabla v

Passo 3

Para a regra do produto de escalares, usamos que ∂(u v)/∂x = v ∂u/∂x + u ∂v/∂x e análogo nas outras direções. Assim
nabla(uv)=l(vpartial upartial x+upartial vpartial x,dotsr)=vnabla u+unabla v

Passo 4

Para o quociente, aplicamos a regra de derivação de u/v em cada componente:
partial partial xl(uvr)=v,partialx u-u,partialx vv^2
e o mesmo para y e z. Portanto
nablal(tfracuvr)=1v^2l(vnabla u-unabla vr)

Passo 5

A linearidade da divergência segue de forma análoga à do gradiente, usando div(F)=∂F₁/∂x+∂F₂/∂y+∂F₃/∂z. Logo
div(alpha F+beta G)=alphadiv F+betadiv G

Passo 6

Para mostrar que div(rot F)=0, escrevemos rot F = (∂F₃/∂y−∂F₂/∂z, ∂F₁/∂z−∂F₃/∂x, ∂F₂/∂x−∂F₁/∂y) e então
div(nablatimes F)=partialpartial x(partialyF3-partialzF2)+dots
e cada termo cancela por valer derivações mistas iguais (Clairaut), resultando 0.

Passo 7

Para div(F×G), usamos a identidade componente-a-componente ou o determinante simbólico. O resultado padrão é
div( Ftimes G)= Gcdot(nablatimes F)- Fcdot(nablatimes G)

Passo 8

Para o rotacional de uF, aplicamos a regra do produto vetorial em cada componente:
nablatimes(u F)=u(nablatimes F)+(nabla u)times F

Passo 9

A linearidade do rotacional é direta: cada componente de rot(αF+βG) é combinação linear das derivadas de F e G, logo
nablatimes(alpha F+beta G)=alpha(nablatimes F)+beta(nablatimes G)

Passo 10

Para div(v∇u), lembramos que ∇u é um campo vetorial. Então por div(campo vetorial escalar-vetorial) vale
div(vnabla u)=nabla vcdotnabla u+vdiv(nabla u)
Mas div(∇u)=Δu (laplaciano), dando
v,Δu+nabla ucdotnabla v

Passo 11

Finalmente, para div(uF), usamos a mesma ideia que no item anterior:
div(u F)=nabla ucdot F+udiv F

Resposta

Todas as identidades (a)–(j) foram demonstradas conforme solicitado.

Exercícios relacionados