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Expresse a solução para o problema de valor inicial
$$
y^{\prime \prime}-y=\frac{1}{t}, \quad y(1)=0, y^{\prime}(1)=-2
$$
empregando integrais definidas. Usando a integração numérica (Apêndice C) para aproximar as integrais, ache uma aproximação para
até duas casas decimais.
19
Expresse a solução para o problema de valor inicial
$$
empregando integrais definidas. Usando a integração numérica (Apêndice C) para aproximar as integrais, ache uma aproximação para
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO linear de 2º ordem
com condições iniciais
,
, expressando a solução por integrais definidas e depois aproximar
numericamente.
Passo 2
Para começar, estudamos a parte homogênea
. A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Usamos o método de variação de parâmetros. Tomando as soluções fundamentais
,
, o Wronskiano é
. As fórmulas dão
Passo 4
Integramos de 1 a
obrigando
:
Passo 5
Aplicamos
e
. Como as integrais valem zero em
, obtemos
Passo 6
Logo a solução final é
Passo 7
Para achar
, escrevemos
onde
Passo 8
Aproximamos numericamente por Regra de Simpson (3 pontos,
):
- Para
obtivemos , logo . - Para
obtivemos , logo .
Substituindo em:
Resposta
y(2)\approx -1.92