y^prime prime-6 y^prime+9 y=r^3 e^3 r
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Expresse a solução para o problema de valor inicial
$$
y^{\prime \prime}-y=\frac{1}{t}, \quad y(1)=0, y^{\prime}(1)=-2
$$
empregando integrais definidas. Usando a integração numérica (Apêndice C) para aproximar as integrais, ache uma aproximação para y^prime prime-y=1t, y(1)=0, y^prime(1)=-2 até duas casas decimais.

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO linear de 2º ordem y''-y=1/t com condições iniciais y(1)=0, y'(1)=-2, expressando a solução por integrais definidas e depois aproximar y(2) numericamente.

Passo 2

Para começar, estudamos a parte homogênea y''-y=0. A equação característica é r^2-1=0, com raízes r=pm1. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2e^-t

Passo 3

Usamos o método de variação de parâmetros. Tomando as soluções fundamentais y1=e^t, y2=e^-t, o Wronskiano é W=y1y2'-y1'y2=-2. As fórmulas dão
u1'(t)=-y2(t),g(t)W=-e^-t(1/t)-2=e^-t2t,
u2'(t)=y1(t),g(t)W=e^t(1/t)-2=-e^t2t

Passo 4

Integramos de 1 a t obrigando u1(1)=u2(1)=0:
u1(t)=integral1^te^-s2s,ds,
u2(t)=-integral1^te^s2s,ds Assim a solução geral é
y(t)=C1e^t+C2e^-t+e^tintegral1^te^-s2s,ds- e^-tintegral1^te^s2s,ds

Passo 5

Aplicamos y(1)=0 e y'(1)=-2. Como as integrais valem zero em t=1, obtemos
0=C1e+C2e^-1,
-2=y'(1)=2C1e Desses vem C1=-1/e e C2=e.

Passo 6

Logo a solução final é
y(t)=-e^t-1+e^1-t+e^tintegral1^te^-s2s,ds -e^-tintegral1^te^s2s,ds

Passo 7

Para achar y(2), escrevemos
y(2)=-e^1+e^-1+e^2A -e^-2B,
onde
A=integral1^2e^-s2s,ds,
B=integral1^2e^s2s,ds

Passo 8

Aproximamos numericamente por Regra de Simpson (3 pontos, h=0.5):
  • Para I1=integral1^2 e^-s/s,ds obtivemos I1approx0.17176, logo A=I1/2approx0.08588.
  • Para I2=integral1^2 e^s/s,ds obtivemos I2approx3.06067, logo B=I2/2approx1.53033.
    Substituindo em y(2):
y(2)approx -2.71828+0.36788+7.38906times0.08588 -0.13534times1.53033approx -1.92

Resposta

y(2)\approx -1.92

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