nabla cdot J=lim de
a expressão para o divergente de J em coordenadas esféricas. Verifique que a expressão obtida pode ser escrita como
(nabla cdot J)|r=r0=1hr htheta hvarphi[partialpartial r(htheta hvarphi Jr)+partialpartial theta(hvarphi hr Jtheta)+partialpartial varphi(hr htheta Jvarphi)]|r=r0
onde hmu e Jmu, para mu=r, theta, varphi, são, respectivamente, os elementos da métrica e as componentes de J.

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente mostrar que, usando a definição “fluxo sobre volume”
nablacdot J=limde
a gente chega na fórmula geral em coordenadas curvilíneas (e, em particular, em esféricas):
$$
(\nabla\cdot\mathbf J)\big|{\mathbf r_0}
=\frac1{h_rh
\theta h_\varphi}\Bigl[\partial_r(h_\theta h_\varphi J_r)
+\partial_\theta(h_\varphi h_r J_\theta)
+\partial_\varphi(h_rh_\theta J_\varphi)\Bigr]\Big|_{\mathbf r_0}.
$$
Conteúdo: divergência em coordenadas curvilíneas, elementos métricos (nablacdot J)| r0 =1hrhtheta hvarphil[partialr(htheta hvarphi Jr) +partialtheta(hvarphi hr Jtheta) +partialvarphi(hrhtheta Jvarphi)r]| r0 , fluxos e volumes elementares. Vamos precisar da definição de divergência via fluxo, das expressões de em esféricas e do cálculo de áreas e volume elementares.

Passo 2

Definição de divergência:
nablacdot J=limde
A ideia é considerar um “bloco” de volume elementar em coordenadas , calcular o fluxo em cada face (duas por cada coord.) e depois dividir pelo volume.

Passo 3

Em coordenadas gerais hr=1, htheta=r, hvarphi=rsintheta com fatores de escala ,
  • o volume elementar é .
  • a área da face normal a (ou seja superfície constante ) é .
    E analogamente para as outras duas.
No nosso caso de esféricas ,

Passo 4

Fluxo pelas faces radiais ( Jr(r+tfrac12dr),de):
  • área em : ,
  • área em : .
    Fluxo líquido radial ≃

Passo 5

Agora faces em Jtheta(theta+tfrac12dtheta),de:
  • , área .
    Saldo de fluxo em é

Passo 6

Faces em Jvarphi(varphi+tfrac12dvarphi),de:
  • área .
    Fluxo em é

Passo 7

Somando todos os fluxos e dividindo por Jr(r+tfrac12dr),de, e levando 1hrhtheta hvarphi,partialrl(htheta hvarphi Jrr), , cada diferença tipo
vira exatamente
e de modo análogo para e .

Resposta

Portanto comprovamos que
(nablacdot J)| r0 =1hrhtheta hvarphil[partialr(htheta hvarphi Jr) +partialtheta(hvarphi hr Jtheta) +partialvarphi(hrhtheta Jvarphi)r]| r0
Em esféricas, com , , , isso reproduz a forma conhecida de .

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