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Conteúdo: divergência em coordenadas curvilíneas, elementos métricos (nablacdot J)| r0 =1hrhtheta hvarphil[partialr(htheta hvarphi Jr) +partialtheta(hvarphi hr Jtheta) +partialvarphi(hrhtheta Jvarphi)r]| r0 , fluxos e volumes elementares. Vamos precisar da definição de divergência via fluxo, das expressões de em esféricas e do cálculo de áreas e volume elementares.
Passo 2
Definição de divergência:
nablacdot J=limde
A ideia é considerar um “bloco” de volume elementar em coordenadas , calcular o fluxo em cada face (duas por cada coord.) e depois dividir pelo volume.
Passo 3
Em coordenadas gerais hr=1, htheta=r, hvarphi=rsintheta com fatores de escala ,
o volume elementar é .
a área da face normal a (ou seja superfície constante ) é .
E analogamente para as outras duas.
No nosso caso de esféricas ,
Passo 4
Fluxo pelas faces radiais ( Jr(r+tfrac12dr),de):
área em : ,
área em : .
Fluxo líquido radial ≃
Passo 5
Agora faces em Jtheta(theta+tfrac12dtheta),de:
, área .
Saldo de fluxo em é
Passo 6
Faces em Jvarphi(varphi+tfrac12dvarphi),de:
área .
Fluxo em é
Passo 7
Somando todos os fluxos e dividindo por Jr(r+tfrac12dr),de, e levando 1hrhtheta hvarphi,partialrl(htheta hvarphi Jrr), , cada diferença tipo