Escreva uma equação vetorial para a elipse e dela obtenha a equação algébrica da elipse.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O que a gente precisa fazer é escrever uma equação vetorial para uma elipse e, a partir dela, obter a equação algébrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias para dois pontos fixos chamados de focos é constante. Mas para facilitar, vamos usar a forma vetorial.

Passo 3

Na forma vetorial, podemos representar a posição de um ponto qualquer na elipse usando dois vetores: um para o centro da elipse e outro para a posição relativa ao centro. Suponhamos que o centro da elipse esteja na origem (0,0) para simplificar.

Passo 4

Vamos considerar os eixos da elipse: o eixo maior com comprimento 2a e o eixo menor com comprimento 2b. O vetor posição $ \vec{r} $ de um ponto na elipse pode ser escrito como:
r
Aqui, $ \theta $ é o parâmetro que varia de 0 a $ 2\pi $, e $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 5

Agora, para obter a equação algébrica da elipse, vamos eliminar o parâmetro $ \theta $. Podemos fazer isso isolando $ \cos(\theta) $ e $ \sin(\theta) $ nas componentes x e y da equação vetorial:
theta

Passo 6

Sabemos que $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $. Substituindo as expressões que encontramos:
cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1

Resposta

A equação algébrica da elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1

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