Centro de massa de corpos extensos. (a) No caso bidimensional, a expressão anterior se reduz a
, onde
é a densidade superficial de massa distribuída em uma área
. Considere um disco de raio
com densidade superficial de massa radialmente simétrica, isto é,
. Mostre, a partir da definição, que o CM desse corpo se localiza no centro do disco.
Passo 1
Beleza, então a questão pede pra mostrar que o centro de massa (CM) de um disco de raio
com densidade superficial
que depende só da distância ao centro fica justo no centro do disco.
Matéria envolvida: cálculo de centro de massa em 2D.
O que precisamos:
Matéria envolvida: cálculo de centro de massa em 2D.
O que precisamos:
- Definir a massa total
do disco via . - Definir as coordenadas do CM:
- Escolher coordenadas polares:
. - Usar a simetria radial (
depende só de ).
Passo 2
Primeiro, escrevemos o elemento de massa em 2D:
A massa total é
Como
não depende de
, dá pra separar:
Passo 3
Agora montamos a fórmula de
:
Repare que
. Logo
Passo 4
Mesma ideia pra
:
E como
, temos
Resposta
O centro de massa do disco fica no ponto
, ou seja, exatamente no centro do disco.