Centro de massa de corpos extensos. (a) No caso bidimensional, a expressão anterior se reduz a d m= sigma(r) d A, onde sigma(r) é a densidade superficial de massa distribuída em uma área A. Considere um disco de raio R com densidade superficial de massa radialmente simétrica, isto é, sigma(r)=sigma(r). Mostre, a partir da definição, que o CM desse corpo se localiza no centro do disco.

Passo 1

Beleza, então a questão pede pra mostrar que o centro de massa (CM) de um disco de raio xrm CM = 1M!integral x,dm, yrm CM = 1M!integral y,dm com densidade superficial que depende só da distância ao centro fica justo no centro do disco.
Matéria envolvida: cálculo de centro de massa em 2D.
O que precisamos:
  1. Definir a massa total do disco via .
  2. Definir as coordenadas do CM:
  3. Escolher coordenadas polares: .
  4. Usar a simetria radial ( depende só de ).

Passo 2

Primeiro, escrevemos o elemento de massa em 2D:
dm = sigma(r),dA = sigma(r),r,dr,dtheta
A massa total é
M ;=;integral dm = integral0^2pi!integral0^Rsigma(r),r,dr,dtheta
Como M = l(integral0^2pidthetar),l(integral0^Rsigma(r),r,drr) = 2pi integral0^Rsigma(r),r,dr não depende de , dá pra separar:

Passo 3

Agora montamos a fórmula de xrm CM = 1Mintegral x,dm = 1Mintegral0^2pi!integral0^R(rcostheta),sigma(r),r,dr,dtheta = 1Mintegral0^2picostheta,dtheta ;integral0^Rsigma(r),r^2,dr :
xrm CM = 0
Repare que . Logo

Passo 4

Mesma ideia pra yrm CM = 1Mintegral y,dm = 1Mintegral0^2pisintheta,dtheta ;integral0^Rsigma(r),r^2,dr :
yrm CM = 0
E como , temos

Resposta

O centro de massa do disco fica no ponto , ou seja, exatamente no centro do disco.

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