Suponha que
e
existam. Prove a fórmula de Leibniz:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução em
, que se existem as derivadas de ordem até
de
e
em
, então vale a fórmula de Leibniz para a
-ésima derivada do produto:
Vamos usar como ferramenta a regra do produto para derivadas de primeira ordem e a identidade
Passo 2
(Caso-base
)
Para temos por definição
. Do outro lado,
Para
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
(Passo de indução)
Suponha que para um certo já valha
Suponha que para um certo
para todo
em um vizinhança de
. Então, tomando mais uma derivada em
e avaliando em
, usando a regra do produto em cada termo da soma, obtém-se:
Passo 4
(Reindexação e uso da identidade binomial)
Separe a soma em duas:
Separe a soma em duas:
Na primeira, faça
, de modo que
varia de
a
e
. Na segunda, reescreva indexando por
indo de
a
. Ao somar essas duas somas, para cada termo com derivada de ordem
de
e ordem
de
aparece o coeficiente
Isso produz exatamente
Assim, o passo de indução fecha.
Resposta
Como a propriedade vale para
e está fechada sob o passo de indução, concluímos que, para todo
,
o que é exatamente a fórmula de Leibniz.