Suponha que f^(n)(a) e g^(n)(a) existam. Prove a fórmula de Leibniz:
(f cdot g)^(n)(a)=sumk=0^nbinomnk f^(k)(a) cdot g^(n-k)(a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução em n, que se existem as derivadas de ordem até n de f e g em a, então vale a fórmula de Leibniz para a n-ésima derivada do produto:
(fcdot g)^(n)(a) =sumk=0^nbinomnk,f^(k)(a),g^(n-k)(a)
Vamos usar como ferramenta a regra do produto para derivadas de primeira ordem e a identidade
binomnk-1+binomnk=binomn+1k

Passo 2

(Caso-base n=0)
Para n=0 temos por definição (fcdot g)^(0)(a)=(fcdot g)(a). Do outro lado,
sumk=0^0binom0kf^(k)(a)g^(0-k)(a) =binom00f^(0)(a)g^(0)(a) =1cdot f(a),g(a) =(fcdot g)(a)
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

(Passo de indução)
Suponha que para um certo n>=0 já valha
(fcdot g)^(n)(x) =sumk=0^nbinomnkf^(k)(x),g^(n-k)(x)
para todo x em um vizinhança de a. Então, tomando mais uma derivada em x e avaliando em x=a, usando a regra do produto em cada termo da soma, obtém-se:
(fcdot g)^(n+1)(a) =ddxl[(fcdot g)^(n)(x)r]x=a =sumk=0^nbinomnk l(f^(k+1)(a),g^(n-k)(a) +f^(k)(a),g^(n-k+1)(a)r)

Passo 4

(Reindexação e uso da identidade binomial)
Separe a soma em duas:
sumk=0^nbinomnkf^(k+1)(a)g^(n-k)(a) e sumk=0^nbinomnkf^(k)(a)g^(n-k+1)(a)
Na primeira, faça j=k+1, de modo que j varia de 1 a n+1 e binomnk=binomnj-1. Na segunda, reescreva indexando por k indo de 0 a n. Ao somar essas duas somas, para cada termo com derivada de ordem k de f e ordem n+1-k de g aparece o coeficiente
binomnk-1+binomnk =binomn+1k
Isso produz exatamente
(fcdot g)^(n+1)(a) =sumk=0^n+1binomn+1kf^(k)(a),g^(n+1-k)(a)
Assim, o passo de indução fecha.

Resposta

Como a propriedade vale para n=0 e está fechada sob o passo de indução, concluímos que, para todo n>=0,
(fcdot g)^(n)(a) =sumk=0^nbinomnkf^(k)(a),g^(n-k)(a),
o que é exatamente a fórmula de Leibniz.

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