Se não for grande a diferença de temperatura \Delta T entre objeto e sua vizinhança, a taxa de esfriamento ou aquecimento é aproximadamente proporcional à diferença de temperatura entre objeto e vizinhança:
\frac{d(\Delta T)}{d t}=-k \Delta T \quad, \text { onde k é uma constante. }é
Esta relação é conhecida como lei do resfriamento de Newton. a) Quais as dimensões de k ? b) sendo \Delta \mathrm{T}_{\mathrm{o}} a diferença de temperatura em certo instante, mostre que:
\Delta T=\Delta T_{o} \cdot \exp (-k t)
c) Se \mathrm{k}=0,5 \mathrm{~min}^{-1}, calcule o tempo necessário para que um objeto, inicialmente a 90^{\circ} \mathrm{C}, tenha sua temperatura diminuída até 35^{\circ} \mathrm{C}, num dia de temperatura 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá a lei do resfriamento de Newton na forma
\frac{d(\Delta T)}{d t}=-k\,\Delta T,
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre o objeto e a vizinhança e k é uma constante. As perguntas são:
a) Quais as dimensões (unidades) de k?
b) Dado que em certo instante a diferença de temperatura é \Delta T_{o}, mostre que
\Delta T=\Delta T_{o}\cdot\exp(-k t).
c) Para k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1}, calcule o tempo necessário para que um objeto inicialmente a 90^\circ\mathrm{C} chegue a 35^\circ\mathrm{C} quando a temperatura ambiente é 25^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes e dados que vamos usar:
  • Equação diferencial: \dfrac{d(\Delta T)}{d t}=-k\,\Delta T.
  • Condição inicial para a parte (b): \Delta T(0)=\Delta T_{o}.
  • Para (c): objeto inicial 90^\circ\mathrm{C}, ambiente 25^\circ\mathrm{C}, logo \Delta T_{o}=90-25=65 (graus); alvo 35^\circ\mathrm{C} tem \Delta T_{\text{final}}=35-25=10 (graus). Também k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 2

(a) Dimensões de k.
A equação diferencial tem a forma
\frac{d(\Delta T)}{d t}=-k\,\Delta T.
Analisando unidades: o lado esquerdo \dfrac{d(\Delta T)}{dt} tem unidades de (variação de temperatura) por (unidade de tempo), isto é, \dfrac{[\Delta T]}{[\text{tempo}]}. O lado direito é k multiplicado por \Delta T, logo tem unidades [k]\cdot[\Delta T]. Igualando as unidades dos dois lados:
\frac{[\Delta T]}{[\text{tempo}]} = [k]\cdot[\Delta T].
Cancelando [\Delta T] (é não nulo), obtemos
[k]=[\text{tempo}]^{-1}.
Ou seja, k tem dimensão de inverso do tempo (unidades como \mathrm{s}^{-1} ou \mathrm{min}^{-1}).
Explicação curta: como k multiplica uma temperatura para produzir uma taxa de variação por tempo, k precisa ter dimensão “por tempo”.

Passo 3

(b) Resolução da equação diferencial (método de separação de variáveis). Vou explicar o método passo a passo como se fosse uma receita fácil de seguir na prova.
Temos
\frac{d(\Delta T)}{d t}=-k\,\Delta T.
A ideia de separação de variáveis é rearranjar para colocar todos os termos que envolvem \Delta T de um lado e todos os termos que envolvem t do outro, assim podemos integrar cada lado. Dividindo ambos os lados por \Delta T (assumindo \Delta T\neq0) e multiplicando por dt:
\frac{1}{\Delta T}\,d(\Delta T) = -k\,dt.
Agora integramos os dois lados: a integral da esquerda é com respeito a \Delta T e a da direita com respeito a t:
\int \frac{1}{\Delta T}\,d(\Delta T) = \int -k\,dt.
A antiderivada de 1/\Delta T é \ln|\Delta T| e a antiderivada de -k é -k t, portanto obtemos
\ln|\Delta T| = -k t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Determinar a constante usando a condição inicial.
Usamos \Delta T(0)=\Delta T_{o}. Substituindo t=0 na expressão \ln|\Delta T| = -k t + C:
\ln|\Delta T_{o}| = C.
Logo a solução geral fica
\ln|\Delta T| = -k t + \ln|\Delta T_{o}|.
Subtraindo o log inicial e exponenciando ambos os lados para eliminar o log:
\ln\!\left(\frac{|\Delta T|}{|\Delta T_{o}|}\right) = -k t \quad\Longrightarrow\quad \frac{|\Delta T|}{|\Delta T_{o}|} = e^{-k t}.
Como \Delta T e \Delta T_{o} têm mesmo sinal na situação física (diferenças positivas ou negativas conforme situação), podemos remover o valor absoluto mantendo o sinal correto. Obtemos então a forma final
\Delta T = \Delta T_{o}\,\exp(-k t).
Comentário didático: essa é a forma exponencial típica de decaimento. A constante k regula a rapidez: quanto maior k, mais rápido o decaimento.

Passo 5

(c) Aplicando a fórmula para calcular o tempo pedido.
Para o caso concreto: temperatura ambiente 25^\circ\mathrm{C}. Objeto inicialmente 90^\circ\mathrm{C} e quer chegar a 35^\circ\mathrm{C}. Então, conforme identifiquei no Passo 1,
\Delta T_{o}=90-25=65, \qquad \Delta T(t)=35-25=10.
Usamos a fórmula
\Delta T(t)=\Delta T_{o}\,e^{-k t}.
Substituindo valores:
10 = 65\,e^{-k t}.

Passo 6

Isolando t. Dividindo por 65:
e^{-k t}=\frac{10}{65}=\frac{2}{13}.
Tomando logaritmo natural (explicando: \ln(e^{x})=x, então \ln nos permite trazer o expoente para fora):
-k t = \ln\!\left(\frac{2}{13}\right).
Logo
t = -\frac{1}{k}\,\ln\!\left(\frac{2}{13}\right).

Passo 7

Substituindo k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1} e calculando numericamente.
Calculemos \ln\!\left(\dfrac{2}{13}\right). Podemos usar a identidade \ln(2/13)=\ln 2-\ln 13. Numericamente:
\ln\!\left(\frac{2}{13}\right)\approx -1,871802.
Portanto
t = -\frac{1}{0,5}\cdot(-1,871802) = \frac{1,871802}{0,5} \approx 3,743604\\ \mathrm{min}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
t \approx 3,74\\ \mathrm{min}.
Comentário final motivador: viu só? Apesar de parecer muita coisa no enunciado, o procedimento é sempre o mesmo — separar variáveis, integrar, aplicar condição inicial e usar log para isolar o tempo. Você consegue repetir isso na prova!

Resposta

a) [k]=[\text{tempo}]^{-1} (unidade: inverso do tempo, ex.: \mathrm{min}^{-1}).
b) \Delta T=\Delta T_{o}\cdot\exp(-k t).
c) t \approx 3,74\\ \mathrm{min}.

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