Se não for grande a diferença de temperatura
entre objeto e sua vizinhança, a taxa de esfriamento ou aquecimento é aproximadamente proporcional à diferença de temperatura entre objeto e vizinhança:
Esta relação é conhecida como lei do resfriamento de Newton. a) Quais as dimensões de k ? b) sendo
a diferença de temperatura em certo instante, mostre que:
c) Se
, calcule o tempo necessário para que um objeto, inicialmente a
, tenha sua temperatura diminuída até
, num dia de temperatura
.
Passo 1
O enunciado dá a lei do resfriamento de Newton na forma
onde
é a diferença de temperatura entre o objeto e a vizinhança e
é uma constante. As perguntas são:
a) Quais as dimensões (unidades) de ?
b) Dado que em certo instante a diferença de temperatura é , mostre que
a) Quais as dimensões (unidades) de
b) Dado que em certo instante a diferença de temperatura é
c) Para
, calcule o tempo necessário para que um objeto inicialmente a
chegue a
quando a temperatura ambiente é
.
Informações relevantes e dados que vamos usar:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial para a parte (b):
. - Para (c): objeto inicial
, ambiente , logo (graus); alvo tem (graus). Também .
Passo 2
(a) Dimensões de
.
A equação diferencial tem a forma
A equação diferencial tem a forma
Analisando unidades: o lado esquerdo
tem unidades de (variação de temperatura) por (unidade de tempo), isto é,
. O lado direito é
multiplicado por
, logo tem unidades
. Igualando as unidades dos dois lados:
Cancelando
(é não nulo), obtemos
Ou seja,
tem dimensão de inverso do tempo (unidades como
ou
).
Explicação curta: como
multiplica uma temperatura para produzir uma taxa de variação por tempo,
precisa ter dimensão “por tempo”.
Passo 3
(b) Resolução da equação diferencial (método de separação de variáveis). Vou explicar o método passo a passo como se fosse uma receita fácil de seguir na prova.
Temos
A ideia de separação de variáveis é rearranjar para colocar todos os termos que envolvem
de um lado e todos os termos que envolvem
do outro, assim podemos integrar cada lado. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) e multiplicando por
:
Agora integramos os dois lados: a integral da esquerda é com respeito a
e a da direita com respeito a
:
A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
, portanto obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Determinar a constante usando a condição inicial.
Usamos . Substituindo
na expressão
:
Usamos
Logo a solução geral fica
Subtraindo o log inicial e exponenciando ambos os lados para eliminar o log:
Como
e
têm mesmo sinal na situação física (diferenças positivas ou negativas conforme situação), podemos remover o valor absoluto mantendo o sinal correto. Obtemos então a forma final
Comentário didático: essa é a forma exponencial típica de decaimento. A constante
regula a rapidez: quanto maior
, mais rápido o decaimento.
Passo 5
(c) Aplicando a fórmula para calcular o tempo pedido.
Para o caso concreto: temperatura ambiente . Objeto inicialmente
e quer chegar a
. Então, conforme identifiquei no Passo 1,
Para o caso concreto: temperatura ambiente
Usamos a fórmula
Substituindo valores:
Passo 6
Isolando
. Dividindo por
:
Tomando logaritmo natural (explicando:
, então
nos permite trazer o expoente para fora):
Logo
Passo 7
Substituindo
e calculando numericamente.
Calculemos . Podemos usar a identidade
. Numericamente:
Calculemos
Portanto
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
Comentário final motivador: viu só? Apesar de parecer muita coisa no enunciado, o procedimento é sempre o mesmo — separar variáveis, integrar, aplicar condição inicial e usar log para isolar o tempo. Você consegue repetir isso na prova!
Resposta
a)
(unidade: inverso do tempo, ex.:
).
b) .
c) .
b)
c)