Considere um material que apresenta anisotropia em suas componentes da dilatação. Esse material apresenta área inicial
, onde
e
são as dimensões iniciais das arestas vertical e horizontal, respectivamente. Os coeficientes de dilatação vertical
e horizontal
são diferentes entre si e seus valores estão na ordem de
.
(a) Mostre que podemos calcular a dilatação superficial através da equação
(b) Por que não há um termo
na expressão acima?
(c) Mostre que, em caso isotrópico
, a expressão se reduz àquela que vimos em aula:
(a) Mostre que podemos calcular a dilatação superficial através da equação
(c) Mostre que, em caso isotrópico
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar que a variação de área pode ser calculada por
. - (b) Explicar por que não aparece um termo
na expressão final (ou seja, justificar a ausência desse produto). - (c) Mostrar que, no caso isotrópico
, a expressão se reduz a .
Informações dadas:
- Área inicial
, onde e são as dimensões iniciais vertical e horizontal. - Coeficientes de dilatação linear vertical
e horizontal , com ordem de grandeza . - Variação de temperatura
(qualquer valor dado pelo problema — trataremos em termos gerais).
Passo 2
Conceito básico de dilatação linear (a “fórmula que você deve decorar” e entender):
- Se um corpo tem comprimento inicial
e coeficiente de dilatação linear , ao sofrer uma variação de temperatura o comprimento passa a ser
Explicação das variáveis:
-
= comprimento inicial; -
= comprimento após aquecimento/resfriamento; -
= coeficiente de dilatação linear (unidade ); -
= variação de temperatura (em ).
Racional curto:é a fração de comprimento que muda por grau; para pequenas o aumento é proporcional a .
Passo 3
Aplicando a fórmula da dilatação linear às duas direções do retângulo:
- Na direção vertical, com
e coeficiente ,
- Na direção horizontal, com
e coeficiente ,
Aqui eu expliquei passo a passo: cada aresta cresce independentemente segundo sua própria
.
Passo 4
Calcule a nova área multiplicando as duas dimensões dilatadas:
Como
, escrevemos
Passo 5
Multiplique os parênteses e organize os termos:
A variação de área é
. Assim
Isto é uma expressão exata (até aqui não aproximamos nada).
Passo 6
Por que podemos escrever a forma linear
(isto é, desprezar o termo
)?
Argumento por ordem de grandeza e aproximação de primeira ordem:
- Os coeficientes
e têm ordem de . Logo tem ordem . - O termo desprezado é
. Compare-o com o termo mantido . A razão entre eles é
onde
representa uma ordem de magnitude típica (por ex.
). Para variações de temperatura usuais, digamos
da ordem de
a
, esse quociente é da ordem de
a
: muito pequeno. Portanto o termo quadrático é insignificante em relação ao termo linear e pode ser desprezado sem erro prático.
Interpretação matemática: estamos usando a aproximação em primeira ordem na pequena quantidade
. Em expansão de Taylor ou produto de fatores próximos de 1,
se
e
são muito pequenos,
é uma quantidade de segunda ordem e pode ser desprezada. Aqui
e
.
Passo 7
Conclusão prática para (a) e (b):
- Mantendo apenas termos de primeira ordem (a aproximação usual em dilatação térmica para coeficientes pequenos), obtemos
que responde (a).
- O motivo de não aparecer o termo
na expressão final é que ele é de segunda ordem em e (proporcional a ) e, dadas as ordens de grandeza , esse termo é desprezível frente ao termo linear. Isso responde (b).
Passo 8
Caso isotrópico (c): suponha
. Então
Defina o coeficiente de dilatação superficial
por
(isto é a definição comum: a dilatação de área é o dobro da dilatação linear, em materiais isotrópicos). Substituindo em
obtemos
como pedido.
Resposta
(a)
.\n(b) Porque o termo
é de segunda ordem em
e, para
, é desprezível frente ao termo linear; portanto mantemos apenas a aproximação de primeira ordem.\n(c) Para
temos
; definindo
obtemos
.