Considere um material que apresenta anisotropia em suas componentes da dilatação. Esse material apresenta área inicial A_{0}=I_{0 \mathrm{v}} I_{0 \mathrm{~h}}, onde I_{0 \mathrm{v}} e I_{0 \mathrm{~h}} são as dimensões iniciais das arestas vertical e horizontal, respectivamente. Os coeficientes de dilatação vertical \alpha_{\nu} e horizontal \alpha_{h} são diferentes entre si e seus valores estão na ordem de 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.
(a) Mostre que podemos calcular a dilatação superficial através da equação
\Delta A=A_{0}\left(\alpha_{v}+\alpha_{h}\right) \Delta T .
(b) Por que não há um termo \alpha_{V} \alpha_{h} na expressão acima?
(c) Mostre que, em caso isotrópico \left(\alpha_{v}=\alpha_{h}\right), a expressão se reduz àquela que vimos em aula:
\Delta A=A_{0} \beta \Delta T .

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Mostrar que a variação de área pode ser calculada por \Delta A = A_{0}\left(\alpha_{v}+\alpha_{h}\right)\Delta T.
  2. (b) Explicar por que não aparece um termo \alpha_{v}\alpha_{h} na expressão final (ou seja, justificar a ausência desse produto).
  3. (c) Mostrar que, no caso isotrópico \left(\alpha_{v}=\alpha_{h}\right), a expressão se reduz a \Delta A = A_{0}\beta\Delta T.
Informações dadas:
  • Área inicial \displaystyle A_{0}=I_{0\mathrm{v}}\,I_{0\mathrm{h}}, onde \displaystyle I_{0\mathrm{v}} e \displaystyle I_{0\mathrm{h}} são as dimensões iniciais vertical e horizontal.
  • Coeficientes de dilatação linear vertical \displaystyle \alpha_{v} e horizontal \displaystyle \alpha_{h}, com ordem de grandeza \displaystyle 10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Variação de temperatura \displaystyle \Delta T (qualquer valor dado pelo problema — trataremos em termos gerais).

Passo 2

Conceito básico de dilatação linear (a “fórmula que você deve decorar” e entender):
  • Se um corpo tem comprimento inicial \displaystyle L_{0} e coeficiente de dilatação linear \displaystyle \alpha, ao sofrer uma variação de temperatura \displaystyle \Delta T o comprimento passa a ser
L = L_{0}\left(1+\alpha\,\Delta T\right).
Explicação das variáveis:
  • \displaystyle L_{0} = comprimento inicial;
  • \displaystyle L = comprimento após aquecimento/resfriamento;
  • \displaystyle \alpha = coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \displaystyle \Delta T = variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
    Racional curto: \alpha é a fração de comprimento que muda por grau; para pequenas \Delta T o aumento é proporcional a \Delta T.

Passo 3

Aplicando a fórmula da dilatação linear às duas direções do retângulo:
  • Na direção vertical, com \displaystyle I_{0\mathrm{v}} e coeficiente \displaystyle \alpha_{v},
I_{\mathrm{v}} = I_{0\mathrm{v}}\left(1+\alpha_{v}\,\Delta T\right).
  • Na direção horizontal, com \displaystyle I_{0\mathrm{h}} e coeficiente \displaystyle \alpha_{h},
I_{\mathrm{h}} = I_{0\mathrm{h}}\left(1+\alpha_{h}\,\Delta T\right).
Aqui eu expliquei passo a passo: cada aresta cresce independentemente segundo sua própria \alpha.

Passo 4

Calcule a nova área multiplicando as duas dimensões dilatadas:
A = I_{\mathrm{v}}\,I_{\mathrm{h}} = I_{0\mathrm{v}}I_{0\mathrm{h}}\left(1+\alpha_{v}\,\Delta T\right)\left(1+\alpha_{h}\,\Delta T\right).
Como A_{0}=I_{0\mathrm{v}}I_{0\mathrm{h}}, escrevemos
A = A_{0}\left(1+\alpha_{v}\,\Delta T\right)\left(1+\alpha_{h}\,\Delta T\right).

Passo 5

Multiplique os parênteses e organize os termos:
A = A_{0}\left(1 + (\alpha_{v}+\alpha_{h})\Delta T + \alpha_{v}\alpha_{h}\,(\Delta T)^{2}\right).
A variação de área é \displaystyle \Delta A = A - A_{0}. Assim
\Delta A = A_{0}\Big((\alpha_{v}+\alpha_{h})\Delta T + \alpha_{v}\alpha_{h}\,(\Delta T)^{2}\Big).
Isto é uma expressão exata (até aqui não aproximamos nada).

Passo 6

Por que podemos escrever a forma linear \displaystyle \Delta A = A_{0}(\alpha_{v}+\alpha_{h})\Delta T (isto é, desprezar o termo \displaystyle \alpha_{v}\alpha_{h}(\Delta T)^{2})?
Argumento por ordem de grandeza e aproximação de primeira ordem:
  • Os coeficientes \alpha_{v} e \alpha_{h} têm ordem de 10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}. Logo \alpha_{v}\alpha_{h} tem ordem 10^{-10}\,^\circ\mathrm{C}^{-2}.
  • O termo desprezado é \alpha_{v}\alpha_{h}(\Delta T)^{2}. Compare-o com o termo mantido (\alpha_{v}+\alpha_{h})\Delta T. A razão entre eles é
\frac{\alpha_{v}\alpha_{h}(\Delta T)^{2}}{(\alpha_{v}+\alpha_{h})\Delta T} = \frac{\alpha_{v}\alpha_{h}\,\Delta T}{\alpha_{v}+\alpha_{h}} \sim \alpha\,\Delta T,
onde \alpha representa uma ordem de magnitude típica (por ex. 10^{-5}). Para variações de temperatura usuais, digamos \Delta T da ordem de 10 a 100\,^\circ\mathrm{C}, esse quociente é da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}: muito pequeno. Portanto o termo quadrático é insignificante em relação ao termo linear e pode ser desprezado sem erro prático.
Interpretação matemática: estamos usando a aproximação em primeira ordem na pequena quantidade \alpha\,\Delta T. Em expansão de Taylor ou produto de fatores próximos de 1,
(1+x)(1+y)=1+x+y+xy,
se x e y são muito pequenos, xy é uma quantidade de segunda ordem e pode ser desprezada. Aqui x=\alpha_{v}\Delta T e y=\alpha_{h}\Delta T.

Passo 7

Conclusão prática para (a) e (b):
  • Mantendo apenas termos de primeira ordem (a aproximação usual em dilatação térmica para coeficientes pequenos), obtemos
\Delta A \approx A_{0}(\alpha_{v}+\alpha_{h})\Delta T,
que responde (a).
  • O motivo de não aparecer o termo \alpha_{v}\alpha_{h} na expressão final é que ele é de segunda ordem em \alpha e \Delta T (proporcional a (\alpha\Delta T)^{2}) e, dadas as ordens de grandeza \alpha\sim 10^{-5}, esse termo é desprezível frente ao termo linear. Isso responde (b).

Passo 8

Caso isotrópico (c): suponha \displaystyle \alpha_{v}=\alpha_{h}=\alpha. Então
\alpha_{v}+\alpha_{h}=2\alpha.
Defina o coeficiente de dilatação superficial \beta por \displaystyle \beta = 2\alpha (isto é a definição comum: a dilatação de área é o dobro da dilatação linear, em materiais isotrópicos). Substituindo em \Delta A \approx A_{0}(\alpha_{v}+\alpha_{h})\Delta T obtemos
\Delta A = A_{0}\,2\alpha\,\Delta T = A_{0}\,\beta\,\Delta T,
como pedido.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta A = A_{0}\left(\alpha_{v}+\alpha_{h}\right)\Delta T.\n(b) Porque o termo \displaystyle \alpha_{v}\alpha_{h}(\Delta T)^{2} é de segunda ordem em \alpha\Delta T e, para \alpha\sim 10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}, é desprezível frente ao termo linear; portanto mantemos apenas a aproximação de primeira ordem.\n(c) Para \displaystyle \alpha_{v}=\alpha_{h}=\alpha temos \displaystyle \Delta A = A_{0}\,2\alpha\,\Delta T; definindo \displaystyle \beta=2\alpha obtemos \displaystyle \Delta A = A_{0}\,\beta\,\Delta T.

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