[2.5 \mathrm{pts}] O campo elétrico em uma certa região do espaço é dado por [\vec{E}=6,2 x \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}, \mathrm{~cm} unidades do S. I. O ponto (A) está no eixo y, em y=4,00 \mathrm{~m}, enquanto o ponto B está situado no eixo x, em x=5,00 \mathrm{~m}. Qual é a diferença de potencial V_{B}-V_{A} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Campo elétrico: \vec{E}=6{,}2\,x\,\hat{i}+0\,\hat{j}+0\,\hat{k} (unidades do S.I.; isto é, \vec{E} depende apenas de x e aponta na direção x).
  • Ponto A: está no eixo y em y=4{,}00\\ \mathrm{m}. Logo as coordenadas de A são (x_A,y_A)=(0,\,4{,}00).
  • Ponto B: está no eixo x em x=5{,}00\\ \mathrm{m}. Logo as coordenadas de B são (x_B,y_B)=(5{,}00,\,0).
  • O que se pede: a diferença de potencial elétrica V_{B}-V_{A}.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (aulas mastigadas!): a diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B num campo eletrostático é dada por
V_{B}-V_{A} = -\int_{A}^{B} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
Explicando cada coisa:
  • \vec{E} é o campo elétrico (em \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}).
  • d\vec{\ell} é o elemento de deslocamento ao longo do caminho tomado de A para B.
  • O produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{\ell} captura só a componente do campo na direção do deslocamento.
  • O sinal negativo aparece porque o potencial diminui na direção do campo elétrico.

Passo 3

Observação importante sobre o campo dado (isso simplifica muito a conta): \vec{E} tem apenas componente em x e depende somente de x. Por isso o campo é conservativo (não tem circulação) e o valor da integral de linha independe do caminho. Consequência prática: podemos calcular a diferença de potencial integrando apenas na direção x, usando as coordenadas x_A e x_B. Em outras palavras,
V_{B}-V_{A}=-\int_{x_A}^{x_B} E_x(x)\,dx,
pois deslocamentos puramente em y não contribuem (já que E_y=0).

Passo 4

Agora substituímos E_x(x)=6{,}2\,x e os limites x_A=0 e x_B=5{,}00. Escrevendo a integral:
V_{B}-V_{A} = -\int_{0}^{5{,}00} 6{,}2\,x\,dx.
Aqui estou integrando em unidades do S.I., logo o resultado virá em volts.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo (sem pular etapas): a integral de x é \tfrac{1}{2}x^{2}. Assim
-\int_{0}^{5{,}00} 6{,}2\,x\,dx = -6{,}2\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{5{,}00}.
Avaliaremos o colchete:
\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{5{,}00} = \tfrac{1}{2}\,(5{,}00)^{2}-\tfrac{1}{2}\,(0)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 25 = 12{,}5.
Então
V_{B}-V_{A} = -6{,}2 \times 12{,}5.

Passo 6

Multiplicando os números (faça sem calculadora: 6{,}2\cdot 12{,}5 = 6{,}2\cdot\frac{25}{2}=3{,}1\cdot25; e 3{,}1\cdot25=77{,}5):
V_{B}-V_{A} = -77{,}5\\ \mathrm{V}.
Interpretação rápida: o potencial em B é 77{,}5\\ \mathrm{V} menor que em A; sinal negativo significa exatamente isso.

Resposta

-77{,}5\\ \mathrm{V}

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