Uma nave espacial de massa m descreve uma órbita circular a uma distância R1 do centro da Terra. Considere G a constante de gravitação universal e MT a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
Obtenha a energia mecânica da nave. A sua resposta deve ser dada em função dos parâmetros informados no texto. Os foguetes da nave estão desligados. ( 10 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma nave espacial com massa $ m $ que está orbitando a uma distância $ R_{1} $ do centro da Terra. O que precisamos aqui é calcular a energia mecânica dessa nave. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e a ideia de órbita circular. Vamos precisar das fórmulas de energia cinética, energia potencial gravitacional e a relação entre força centrípeta e força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ de um objeto é a soma da sua energia cinética $ K $ e da sua energia potencial $ U $. Então, temos:
E

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética $ K $. A energia cinética de um objeto em movimento é dada por:
K
onde $ v $ é a velocidade da nave.

Passo 4

Para uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a nave na órbita é fornecida pela força gravitacional da Terra. Então, podemos igualar essas duas forças:
G MT mR1^2 = m v^2R1
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ M_{T} $ é a massa da Terra, e $ R_{1} $ é a distância do centro da Terra até a nave.

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para encontrar $ v^{2} $:
v^2

Passo 6

Agora que temos $ v^{2} $, podemos substituir na fórmula da energia cinética:
v^2

Passo 7

Em seguida, vamos calcular a energia potencial gravitacional $ U $. A energia potencial gravitacional é dada por:
U
O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa.

Passo 8

Agora, vamos somar as duas energias para encontrar a energia mecânica total:
E = K + U = G MT m2 R1 - G MT mR1

Passo 9

Simplificando a expressão:
E = -G MT m2 R1

Resposta

A energia mecânica da nave é:
E = -G MT m2 R1

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