Uma nave espacial de massa
descreve uma órbita circular a uma distância
do centro da Terra. Considere
a constante de gravitação universal e
a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
Obtenha a energia mecânica da nave. A sua resposta deve ser dada em função dos parâmetros informados no texto. Os foguetes da nave estão desligados. ( 10 pontos).
Obtenha a energia mecânica da nave. A sua resposta deve ser dada em função dos parâmetros informados no texto. Os foguetes da nave estão desligados. ( 10 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma nave espacial com massa $ m $ que está orbitando a uma distância $ R_{1} $ do centro da Terra. O que precisamos aqui é calcular a energia mecânica dessa nave. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e a ideia de órbita circular. Vamos precisar das fórmulas de energia cinética, energia potencial gravitacional e a relação entre força centrípeta e força gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ de um objeto é a soma da sua energia cinética $ K $ e da sua energia potencial $ U $. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética $ K $. A energia cinética de um objeto em movimento é dada por:
onde $ v $ é a velocidade da nave.
Passo 4
Para uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a nave na órbita é fornecida pela força gravitacional da Terra. Então, podemos igualar essas duas forças:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ M_{T} $ é a massa da Terra, e $ R_{1} $ é a distância do centro da Terra até a nave.
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para encontrar $ v^{2} $:
Passo 6
Agora que temos $ v^{2} $, podemos substituir na fórmula da energia cinética:
Passo 7
Em seguida, vamos calcular a energia potencial gravitacional $ U $. A energia potencial gravitacional é dada por:
O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa.
Passo 8
Agora, vamos somar as duas energias para encontrar a energia mecânica total:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A energia mecânica da nave é: