Questão 3 - Mostre que, em uma colisão elástica unidimensional, se o objeto 1 possui massa m1 e velocidade inicial v1 e o objeto 2 possui massa m2 e velocidade v2, as velocidades e v2 ^prime de ambos os objetos, após a colisão será dadas por
v1^prime=m1-m2m1+m2 v1+2 m2m1+m2 v2
e
v2^prime=2 m1m1+m2 v1+m1-m2m1+m2 v2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer a gente mostrar que, numa colisão elástica em uma dimensão, as velocidades finais dos dois objetos podem ser calculadas com certas fórmulas. Nosso conteúdo aqui é de cinemática, especificamente sobre colisões elásticas. Para resolver, vamos precisar usar as leis de conservação da quantidade de movimento e da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma colisão elástica. É quando dois objetos colidem e, além de conservarem a quantidade de movimento, também conservam a energia cinética total. Isso significa que nada é perdido em forma de calor, som ou deformação.

Passo 3

A quantidade de movimento (ou momento linear) é dada por $ p = m \cdot v $, onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade. Na colisão, a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total após a colisão. Então, temos:
p = m cdot v

Passo 4

Agora, a energia cinética é dada por $ KE = \frac{1}{2} m v^2 $. Como a energia cinética total também é conservada na colisão elástica, temos:
KE = 12 m v^2

Passo 5

Vamos simplificar as equações. Podemos eliminar os $ \frac{1}{2} $ multiplicando toda a equação de energia por 2. Assim:
12

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações:
  1. $ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1’ + m_2 v_2’ $ (conservação do momento)
  2. $ m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 v_1’^2 + m_2 v_2’^2 $ (conservação da energia)
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ v_1’ $ e $ v_2’ $.

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a equação da conservação do momento para uma das velocidades, por exemplo, $ v_1’ $:
v1'

Passo 8

Agora, substituímos $ v_1’ $ na equação da conservação da energia:
v1'
Isso pode ficar um pouco complicado, então vamos usar um truque matemático: subtrair a segunda equação da primeira de forma apropriada para isolar as variáveis.

Passo 9

Após algumas manipulações algébricas (que envolvem expandir os quadrados e coletar termos semelhantes), chegamos às fórmulas finais para $ v_1’ $ e $ v_2’ $:
v1'
v2'

Resposta

Então, mostramos que as velocidades após a colisão são dadas por
v1^prime=m1-m2m1+m2 v1+2 m2m1+m2 v2
e
v2^prime=2 m1m1+m2 v1+m1-m2m1+m2 v2
como queríamos demonstrar!

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