Uma nave espacial de massa m descreve uma órbita circular a uma distância R_{1} do centro da Terra. Considere G a constante de gravitação universal e M_{T} a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
a) Obtenha a energia mecânica da nave. A sua resposta deve ser dada em função dos parâmetros informados no texto. Os foguetes da nave estão desligados. ( \mathbf{10} pontos).
b) Obtenha o período da órbita da nave. Os foguetes da nave estão desligados. ( 5 pontos).
c) Calcule o trabalho que deve ser realizado pelos foguetes da nave para transportá-la até uma órbita circular de raio R_{2} maior do que R_{1} ( \mathbf{10} pontos).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas (peguei tudo do enunciado):
  • Dados conhecidos:
    • Massa da nave: m.
    • Distância da nave ao centro da Terra na primeira órbita: R_{1}.
    • Distância da nave ao centro da Terra na segunda órbita: R_{2}, com R_{2}>R_{1}.
    • Constante de gravitação universal: G.
    • Massa da Terra: M_{T}.
    • Não há forças de atrito; os foguetes podem realizar trabalho quando ligados.
  • Perguntas:
    a) Obter a energia mecânica da nave (quando ela descreve uma órbita circular de raio R_{1} e foguetes desligados).
    b) Obter o período da órbita circular (com foguetes desligados).
    c) Calcular o trabalho que os foguetes precisam realizar para transferir a nave de uma órbita circular de raio R_{1} para outra circular de raio R_{2}>R_{1}.

Passo 2

Entender a força que mantém a nave em órbita e calcular a velocidade orbital.
  • A força gravitacional entre a Terra e a nave vale a lei da gravitação de Newton:
F_{\text{grav}}=\frac{G M_{T} m}{r^{2}},
onde r é a distância entre os centros (aqui r=R_{1} para a órbita inicial). G e M_{T} já foram definidos acima.
  • Para uma órbita circular, a força que fornece a aceleração centrípeta é exatamente a força gravitacional (foguetes desligados), então:
\frac{m v^{2}}{r}= \frac{G M_{T} m}{r^{2}}.
Expliquei: o lado esquerdo é a força centrípeta necessária para manter massa m com velocidade v descrevendo curva de raio r; o lado direito é a atração gravitacional.
  • Cancela-se m e escolhe-se r=R_{1}, obtendo a velocidade orbital em R_{1}:
v_{1}^{2}=\frac{G M_{T}}{R_{1}}, \qquad\text{logo}\qquad v_{1}=\sqrt{\frac{G M_{T}}{R_{1}}}.

Passo 3

Calcular a energia cinética da nave na órbita de raio R_{1}.
  • Energia cinética (definição clássica) é:
K=\frac{1}{2} m v^{2}.
  • Substituindo v_{1}^{2} obtido no passo anterior:
K_{1}=\frac{1}{2} m \left(\frac{G M_{T}}{R_{1}}\right) =\frac{G M_{T} m}{2 R_{1}}.
Expliquei: K_{1} é a energia associada ao movimento orbital da nave na órbita circular de raio R_{1}.

Passo 4

Calcular a energia potencial gravitacional da nave a distância R_{1}.
  • A energia potencial gravitacional (referência usual: zero no infinito) é obtida integrando a força gravitacional. A fórmula padrão é:
U(r)=-\frac{G M_{T} m}{r}.
Explicação curta do porquê: derivando a partir de F=-\dfrac{dU}{dr} e integrando F=\dfrac{G M_{T} m}{r^{2}} do infinito até r obtém-se esse U(r). O sinal negativo indica que a força é atrativa e que é necessária energia positiva para levar o objeto de r até o infinito.
  • Para r=R_{1}:
U_{1}=-\frac{G M_{T} m}{R_{1}}.

Passo 5

Somar \,K_{1} e U_{1} para obter a energia mecânica total na órbita circular de raio R_{1}.
  • Energia mecânica total:
E_{1}=K_{1}+U_{1} =\frac{G M_{T} m}{2 R_{1}}-\frac{G M_{T} m}{R_{1}}.
  • Simplificando:
E_{1}=-\frac{G M_{T} m}{2 R_{1}}.
Expliquei: para órbitas circulares o módulo da energia cinética é metade do módulo da energia potencial, daí o resultado negativo com fator 1/2. Esse valor negativo significa que a nave está ligada gravitacionalmente à Terra (energia total menor que zero).

Passo 6

Resposta do item (a) explicitada e comentada (resumo didático).
  • Conclusão prática para (a): a energia mecânica da nave na órbita circular de raio R_{1} é
E_{1}=-\frac{G M_{T} m}{2 R_{1}}.
  • Observação pedagógica: aqui E_{1} depende linearmente da massa m da nave e inversamente de R_{1}; quanto mais alto (maior R_{1}) mais próximo de zero fica E (ou seja, menos ligada a Terra).

Passo 7

Derivar o período orbital (item b).
  • O período T é o tempo para percorrer uma volta completa: T=\dfrac{\text{comprimento da órbita}}{\text{velocidade}}ó.
  • Comprimento da circunferência de raio r é 2\pi r. Usamos a velocidade circular v=\sqrt{\dfrac{G M_{T}}{r}}.
  • Então, para r=R_{1}:
T_{1}=\frac{2\pi R_{1}}{v_{1}} =2\pi R_{1}\left(\sqrt{\frac{R_{1}}{G M_{T}}}\right) =2\pi\sqrt{\frac{R_{1}^{3}}{G M_{T}}}.
  • Explicação: essa expressão é a forma usual da terceira lei de Kepler para órbitas circulares em termos de G e M_{T}; mostra que o período cresce com o cubo do raio (mais precisamente, T\propto R^{3/2}).

Passo 8

Cálculo do trabalho dos foguetes para levar a nave de R_{1} para R_{2} (item c).
  • Em ausência de atrito e outras forças não-conservativas, o trabalho W realizado pelos foguetes para levar o sistema do estado inicial ao final é igual à variação da energia mecânica total:
W = E_{2}-E_{1},
onde E_{1} e E_{2} são as energias mecânicas (total) nas órbitas de raios R_{1} e R_{2}, respectivamente.
  • Usando a fórmula geral para órbita circular de raio r:
E(r)=-\frac{G M_{T} m}{2 r},
temos
E_{2}=-\frac{G M_{T} m}{2 R_{2}}.
  • Portanto:
W = -\frac{G M_{T} m}{2 R_{2}} - \left(-\frac{G M_{T} m}{2 R_{1}}\right) =\frac{G M_{T} m}{2}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).
  • Observação sobre o sinal: como R_{2}>R_{1} temos \dfrac{1}{R_{1}}>\dfrac{1}{R_{2}}, então W>0. Ou seja, os foguetes devem fornecer energia (trabalho positivo) para elevar a órbita.

Passo 9

Interpretação física e verificação rápida das unidades.
  • Verificação de que as unidades fazem sentido: G M_{T} m / R tem unidades de energia, então o fator 1/2 mantém energia. O trabalho positivo para subir de órbita é coerente.
  • Nota prática: na realidade, transferências orbitais ideais (por exemplo, manobra de Hohmann) podem minimizar combustível porque parte do trabalho é aplicado em dois impulsos; aqui pedimos o trabalho total de mudança de energia mecânica, que é o mínimo de energia que precisa ser fornecido (ignorando perdas e variações devido a manobras reais), porque qualquer impulso só pode alterar a energia total por pelo menos essa quantidade.

Resposta

E_{1}=-\dfrac{G M_{T} m}{2 R_{1}}
T_{1}=2\pi\sqrt{\dfrac{R_{1}^{3}}{G M_{T}}}
W=\dfrac{G M_{T} m}{2}\left(\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}\right)

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