Uma nave espacial de massa
descreve uma órbita circular a uma distância
do centro da Terra. Considere
a constante de gravitação universal e
a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
a) Obtenha a energia mecânica da nave. A sua resposta deve ser dada em função dos parâmetros informados no texto. Os foguetes da nave estão desligados. (
pontos).
b) Obtenha o período da órbita da nave. Os foguetes da nave estão desligados. ( 5 pontos).
c) Calcule o trabalho que deve ser realizado pelos foguetes da nave para transportá-la até uma órbita circular de raio
maior do que
(
pontos).
a) Obtenha a energia mecânica da nave. A sua resposta deve ser dada em função dos parâmetros informados no texto. Os foguetes da nave estão desligados. (
b) Obtenha o período da órbita da nave. Os foguetes da nave estão desligados. ( 5 pontos).
c) Calcule o trabalho que deve ser realizado pelos foguetes da nave para transportá-la até uma órbita circular de raio
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas (peguei tudo do enunciado):
- Dados conhecidos:
- Massa da nave:
. - Distância da nave ao centro da Terra na primeira órbita:
. - Distância da nave ao centro da Terra na segunda órbita:
, com . - Constante de gravitação universal:
. - Massa da Terra:
. - Não há forças de atrito; os foguetes podem realizar trabalho quando ligados.
- Massa da nave:
- Perguntas:
a) Obter a energia mecânica da nave (quando ela descreve uma órbita circular de raioe foguetes desligados).
b) Obter o período da órbita circular (com foguetes desligados).
c) Calcular o trabalho que os foguetes precisam realizar para transferir a nave de uma órbita circular de raiopara outra circular de raio .
Passo 2
Entender a força que mantém a nave em órbita e calcular a velocidade orbital.
- A força gravitacional entre a Terra e a nave vale a lei da gravitação de Newton:
onde
é a distância entre os centros (aqui
para a órbita inicial).
e
já foram definidos acima.
- Para uma órbita circular, a força que fornece a aceleração centrípeta é exatamente a força gravitacional (foguetes desligados), então:
Expliquei: o lado esquerdo é a força centrípeta necessária para manter massa
com velocidade
descrevendo curva de raio
; o lado direito é a atração gravitacional.
- Cancela-se
e escolhe-se , obtendo a velocidade orbital em :
Passo 3
Calcular a energia cinética da nave na órbita de raio
.
- Energia cinética (definição clássica) é:
- Substituindo
obtido no passo anterior:
Expliquei:
é a energia associada ao movimento orbital da nave na órbita circular de raio
.
Passo 4
Calcular a energia potencial gravitacional da nave a distância
.
- A energia potencial gravitacional (referência usual: zero no infinito) é obtida integrando a força gravitacional. A fórmula padrão é:
Explicação curta do porquê: derivando a partir de
e integrando
do infinito até
obtém-se esse
. O sinal negativo indica que a força é atrativa e que é necessária energia positiva para levar o objeto de
até o infinito.
- Para
:
Passo 5
Somar
e
para obter a energia mecânica total na órbita circular de raio
.
- Energia mecânica total:
- Simplificando:
Expliquei: para órbitas circulares o módulo da energia cinética é metade do módulo da energia potencial, daí o resultado negativo com fator
. Esse valor negativo significa que a nave está ligada gravitacionalmente à Terra (energia total menor que zero).
Passo 6
Resposta do item (a) explicitada e comentada (resumo didático).
- Conclusão prática para (a): a energia mecânica da nave na órbita circular de raio
é
- Observação pedagógica: aqui
depende linearmente da massa da nave e inversamente de ; quanto mais alto (maior ) mais próximo de zero fica (ou seja, menos ligada a Terra).
Passo 7
Derivar o período orbital (item b).
- O período
é o tempo para percorrer uma volta completa: . - Comprimento da circunferência de raio
é . Usamos a velocidade circular . - Então, para
:
- Explicação: essa expressão é a forma usual da terceira lei de Kepler para órbitas circulares em termos de
e ; mostra que o período cresce com o cubo do raio (mais precisamente, ).
Passo 8
Cálculo do trabalho dos foguetes para levar a nave de
para
(item c).
- Em ausência de atrito e outras forças não-conservativas, o trabalho
realizado pelos foguetes para levar o sistema do estado inicial ao final é igual à variação da energia mecânica total:
onde
e
são as energias mecânicas (total) nas órbitas de raios
e
, respectivamente.
- Usando a fórmula geral para órbita circular de raio
:
temos
- Portanto:
- Observação sobre o sinal: como
temos , então . Ou seja, os foguetes devem fornecer energia (trabalho positivo) para elevar a órbita.
Passo 9
Interpretação física e verificação rápida das unidades.
- Verificação de que as unidades fazem sentido:
tem unidades de energia, então o fator mantém energia. O trabalho positivo para subir de órbita é coerente. - Nota prática: na realidade, transferências orbitais ideais (por exemplo, manobra de Hohmann) podem minimizar combustível porque parte do trabalho é aplicado em dois impulsos; aqui pedimos o trabalho total de mudança de energia mecânica, que é o mínimo de energia que precisa ser fornecido (ignorando perdas e variações devido a manobras reais), porque qualquer impulso só pode alterar a energia total por pelo menos essa quantidade.