O movimento de rotação da haste OA, em torno de O é definido pela relação \theta=2 t^{3}\}, onde \theta\ é dado em radianos e t em segundos. O cursor B desliza por OA de modo que sua distância a O é \mathrm{r}=60 \mathrm{t}^{2}-20 \mathrm{t}^{3}\}, onde r é expresso em milímetros e t em segundos. Determine para o cursor B sua velocidade e sua aceleração quando (a) t= 1s

Passo 1

O enunciado dá as duas leis de movimento do cursor B em função do tempo t e pede sua velocidade e sua aceleração em t=1\\ \text{s}.
Dados fornecidos:
  • \theta(t)=2\,t^{3} (em radianos, t em segundos).
  • r(t)=60\,t^{2}-20\,t^{3} (em milímetros, t em segundos).
O que é pedido:
  • A velocidade do cursor B em t=1\\ \text{s}.
  • A aceleração do cursor B em t=1\\ \text{s}.
(Unidades: manterei as componentes em milímetros por segundo para velocidade e milímetros por segundo ao quadrado para aceleração; no final indico também os valores em metros por segundo e metros por segundo ao quadrado, se quiser comparar com unidades SI.)

Passo 2

Vamos usar a descrição em coordenadas polares (radial e transversal) porque a posição do ponto é dada por r(t) ao longo da haste e pelo ângulo \theta(t) da haste.
Fórmulas de cinemática em coordenadas polares (explicando cada termo):
  • O vetor posição é \mathbf{r}=r\,\mathbf{e}_r, onde \mathbf{e}_r é o versor radial (apontando ao longo da haste) e \mathbf{e}_\theta é o versor transversal (perpendicular, no sentido de aumento de \theta).
  • Velocidade: \mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta.Aqui \dot{r} é a derivada temporal de r (velocidade radial), e r\dot{\theta} é a componente transversal (devida à rotação).
  • Aceleração: \mathbf{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\,\mathbf{e}_r + (r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\,\mathbf{e}_\theta.Interpretação dos termos:
    • \ddot{r} é a aceleração radial pura (variação de \dot r).
    • -r\dot{\theta}^2 é a componente centrípeta (aponta para o centro).
    • r\ddot{\theta} é a componente transversal associada à variação angular.
    • 2\dot{r}\dot{\theta} é a aceleração de Coriolis (produto da variação radial pela velocidade angular).

Passo 3

Calcular as derivadas de r(t) e \theta(t).
Derivadas de \theta(t):
\theta(t)=2t^{3}\quad\Rightarrow\quad \dot{\theta}(t)=\frac{d\theta}{dt}=6t^{2},
\ddot{\theta}(t)=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=12t.
Derivadas de r(t):
r(t)=60t^{2}-20t^{3}\quad\Rightarrow\quad \dot{r}(t)=\frac{dr}{dt}=120t-60t^{2},
\ddot{r}(t)=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=120-120t.
Agora avalio tudo em t=1\\ \text{s}:
\theta(1)=2\cdot1^{3}=2\\ \text{rad},
\dot{\theta}(1)=6\cdot1^{2}=6\\ \text{rad/s},
\ddot{\theta}(1)=12\cdot1=12\\ \text{rad/s}^2,
r(1)=60\cdot1^{2}-20\cdot1^{3}=60-20=40\\ \text{mm},
\dot{r}(1)=120\cdot1-60\cdot1^{2}=120-60=60\\ \text{mm/s},
\ddot{r}(1)=120-120\cdot1=0\\ \text{mm/s}^2.

Passo 4

Calcular a velocidade em t=1\\ \text{s} usando \mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta.
Substituindo os valores em t=1:
\mathbf{v}(1)=\dot{r}(1)\,\mathbf{e}_r + r(1)\,\dot{\theta}(1)\,\mathbf{e}_\theta =60\,\mathbf{e}_r + 40\cdot 6\,\mathbf{e}_\theta.
\mathbf{v}(1)=60\,\mathbf{e}_r + 240\,\mathbf{e}_\theta\quad(\text{unidades: mm/s}).
Magnitude da velocidade:
\lVert\mathbf{v}(1)\rVert=\sqrt{60^{2}+240^{2}}=\sqrt{3600+57600}=\sqrt{61200}\approx247{,}47\\ \text{mm/s}.
Em metros por segundo: \approx0{,}2475\\ \text{m/s}.

Passo 5

Calcular a aceleração em t=1\\ \text{s} usando \mathbf{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\,\mathbf{e}_r + (r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\,\mathbf{e}_\theta.
Substituindo os valores:
  • Componente radial:
\ddot{r}(1)-r(1)\dot{\theta}(1)^{2}=0 - 40\cdot 6^{2}= -40\cdot 36 = -1440\\ \text{mm/s}^2.
  • Componente transversal:
r(1)\ddot{\theta}(1)+2\dot{r}(1)\dot{\theta}(1)=40\cdot 12 + 2\cdot 60\cdot 6 = 480 + 720 = 1200\\ \text{mm/s}^2.
Portanto:
\mathbf{a}(1) = -1440\,\mathbf{e}_r + 1200\,\mathbf{e}_\theta\quad(\text{unidades: mm/s}^2).
Magnitude da aceleração:
\lVert\mathbf{a}(1)\rVert=\sqrt{(-1440)^{2}+1200^{2}}=\sqrt{2073600+1440000}=\sqrt{3513600}\approx1874{,}5\\ \text{mm/s}^2.
Em metros por segundo ao quadrado: \approx1{,}8745\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a velocidade tem uma componente radial positiva (o cursor ainda está se afastando de O naquele instante) e uma componente transversal maior (devido à rotação rápida da haste). A aceleração radial negativa indica que, apesar de a velocidade radial ser positiva, a componente centrípeta (proporcional a \dot\theta^2) é grande e puxa o cursor para dentro; a componente transversal positiva mostra aumento efetivo de velocidade tangencial por contribuição de \ddot\theta e do termo de Coriolis 2\dot r\dot\theta. Mandou bem pedindo os passos — já dá pra usar esse método direto na prova.

Resposta

\mathbf{v}(1)=60\,\mathbf{e}_r+240\,\mathbf{e}_\theta\\ \text{mm/s}\quad(\lVert\mathbf{v}(1)\rVert\approx247{,}47\\ \text{mm/s}=0{,}2475\\ \text{m/s})
\mathbf{a}(1)=-1440\,\mathbf{e}_r+1200\,\mathbf{e}_\theta\\ \text{mm/s}^2\quad(\lVert\mathbf{a}(1)\rVert\approx1874{,}5\\ \text{mm/s}^2=1{,}8745\\ \text{m/s}^2)

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