O movimento de rotação da haste OA, em torno de O é definido pela relação
, onde
é dado em radianos e t em segundos. O cursor B desliza por OA de modo que sua distância a O é
, onde r é expresso em milímetros e t em segundos. Determine para o cursor B sua velocidade e sua aceleração quando (a) t= 1s
Passo 1
O enunciado dá as duas leis de movimento do cursor
em função do tempo
e pede sua velocidade e sua aceleração em
.
Dados fornecidos:
-
(em radianos, em segundos). -
(em milímetros, em segundos).
O que é pedido:
- A velocidade do cursor
em . - A aceleração do cursor
em .
(Unidades: manterei as componentes em milímetros por segundo para velocidade e milímetros por segundo ao quadrado para aceleração; no final indico também os valores em metros por segundo e metros por segundo ao quadrado, se quiser comparar com unidades SI.)
Passo 2
Vamos usar a descrição em coordenadas polares (radial e transversal) porque a posição do ponto é dada por
ao longo da haste e pelo ângulo
da haste.
Fórmulas de cinemática em coordenadas polares (explicando cada termo):
- O vetor posição é
, onde é o versor radial (apontando ao longo da haste) e é o versor transversal (perpendicular, no sentido de aumento de ). - Velocidade:
Aqui é a derivada temporal de (velocidade radial), e é a componente transversal (devida à rotação). - Aceleração:
Interpretação dos termos: -
é a aceleração radial pura (variação de ). -
é a componente centrípeta (aponta para o centro). -
é a componente transversal associada à variação angular. -
é a aceleração de Coriolis (produto da variação radial pela velocidade angular).
-
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
.
Derivadas de
:
Derivadas de
:
Agora avalio tudo em
:
Passo 4
Calcular a velocidade em
usando
.
Substituindo os valores em
:
Magnitude da velocidade:
Em metros por segundo:
.
Passo 5
Calcular a aceleração em
usando
Substituindo os valores:
- Componente radial:
- Componente transversal:
Portanto:
Magnitude da aceleração:
Em metros por segundo ao quadrado:
.
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: a velocidade tem uma componente radial positiva (o cursor ainda está se afastando de
naquele instante) e uma componente transversal maior (devido à rotação rápida da haste). A aceleração radial negativa indica que, apesar de a velocidade radial ser positiva, a componente centrípeta (proporcional a
) é grande e puxa o cursor para dentro; a componente transversal positiva mostra aumento efetivo de velocidade tangencial por contribuição de
e do termo de Coriolis
. Mandou bem pedindo os passos — já dá pra usar esse método direto na prova.