As placas de um capacitor são separadas por uma distância x=0 até x=d e aterradas (isto é, em potencial nulo). O dielétrico entre as placas tem permissividade \varepsilon e uma densidade volumétrica de carga \rho_{v}=\rho_{0} x(x-d)\left[C / m^{3}\right] distribuída pelo dielétrico. Ache 0 potencial e a intensidade de campo elétrico entre as placas do capacitor.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o quê:
  • Placas do capacitor em x=0 e x=d estão aterradas: isto é, as condições de contorno para o potencial são V(0)=0 e V(d)=0.
  • O dielétrico entre as placas tem permissividade \varepsilon.
  • Há uma densidade volumétrica de carga distribuída no dielétrico dada por \rho_{v}=\rho_{0}\,x(x-d) (unidades \mathrm{C/m^{3}}), válida para 0<x<d.
  • O que se pede: encontrar o potencial elétrico V(x) e a intensidade do campo elétrico \mathbf{E}(x) entre as placas (no intervalo 0<x<d).

Passo 2

Princípio e equação a usar (mini-aula rápida e direta).
  • Para um dielétrico homogêneo com permissividade \varepsilon e densidade de carga volumétrica \rho_{v} vale a equação de Poisson:
\nabla^{2}V=-\frac{\rho_{v}}{\varepsilon}.
  • No caso unidimensional (variação só em x) a equação reduz-se a
\frac{d^{2}V}{dx^{2}}=-\frac{\rho_{v}(x)}{\varepsilon}.
  • A relação entre potencial e campo elétrico é
\mathbf{E}(x)=-\nabla V(x),
em 1D isso significa
E(x)=-\frac{dV}{dx}.
Explicação curta: \nabla\cdot(\varepsilon\mathbf{E})=\rho_{v}. Com \varepsilon constante torna-se \varepsilon\,\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{v}. Usando \mathbf{E}=-\nabla V obtemos Poisson acima.

Passo 3

Escrever a equação de Poisson com a densidade dada.
  • Peguei a densidade do enunciado: \rho_{v}(x)=\rho_{0}\,x(x-d).
  • Então a equação fica
\frac{d^{2}V}{dx^{2}}=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\,x(x-d).

Passo 4

Integrar uma vez para obter \dfrac{dV}{dx}.
  • Integramos em x:
\frac{dV}{dx}=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\int \big(x^{2}-dx\big)\,dx + C_{1}.
  • Calculando a integral:
\frac{dV}{dx}=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{d x^{2}}{2}\right)+C_{1}.
Aqui C_{1} é constante de integração ainda a determinar pelas condições de contorno sobre V.

Passo 5

Integrar uma segunda vez para obter V(x) com constantes C_{1},C_{2}.
  • Integramos novamente:
V(x)=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\left(\frac{x^{4}}{12}-\frac{d x^{3}}{6}\right)+C_{1}x+C_{2}.
  • Aplicando a condição em x=0: V(0)=0 implica
0=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\left(0\right)+C_{1}\cdot 0 + C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.

Passo 6

Determinar C_{1} usando V(d)=0.
  • Aplicando V(d)=0 na expressão (com C_{2}=0):
0=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\left(\frac{d^{4}}{12}-\frac{d\cdot d^{3}}{6}\right)+C_{1}d.
  • Simplificando o parêntese:
\frac{d^{4}}{12}-\frac{d^{4}}{6}=\frac{d^{4}}{12}-\frac{2d^{4}}{12}=-\frac{d^{4}}{12}.
  • Substituindo:
0=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\left(-\frac{d^{4}}{12}\right)+C_{1}d =\frac{\rho_{0}d^{4}}{12\varepsilon}+C_{1}d.
  • Logo
C_{1}=-\frac{\rho_{0}d^{3}}{12\varepsilon}.

Passo 7

Escrever V(x) final substituindo C_{1} e C_{2}.
  • Substituindo os valores das constantes na expressão de V(x):
V(x)=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}\left(\frac{x^{4}}{12}-\frac{d x^{3}}{6}\right)-\frac{\rho_{0}d^{3}}{12\varepsilon}\,x.
  • Colocando em forma simplificada (fator comum -\dfrac{\rho_{0}}{12\varepsilon}):
V(x)=-\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon}\big(x^{4}-2d x^{3}+d^{3}x\big).
Verificação rápida: V(0)=0 e V(d)=0 ficam satisfeitas.

Passo 8

Calcular o campo elétrico E(x)=-\dfrac{dV}{dx}.
  • Derivando a expressão de V(x):
\frac{dV}{dx}=-\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon}\big(4x^{3}-6d x^{2}+d^{3}\big).
  • Portanto
E(x)=-\frac{dV}{dx}=\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon}\big(4x^{3}-6d x^{2}+d^{3}\big).
  • Checagem de consistência: derivando E(x) obtém-se
\frac{dE}{dx}=\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon}(12x^{2}-12dx)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon}(x^{2}-dx)=\frac{\rho_{v}(x)}{\varepsilon},
o que coincide com a lei de Gauss diferencial \dfrac{dE}{dx}=\dfrac{\rho_{v}}{\varepsilon} em 1D (confirmando que não houve erro de sinal ou de constantes).

Passo 9

Interpretação rápida e comentário motivador.
  • As fórmulas acima dão o potencial e o campo em todo o intervalo 0<x<d. Se \rho_{0}>0, a densidade \rho_{v}=\rho_{0}x(x-d) é negativa no interior (pois x-d<0), e isso aparece no sinal das soluções: V(x) pode assumir sinais negativos dependendo de x e de \rho_{0}. O importante é que as condições de contorno V(0)=V(d)=0 foram respeitadas.
  • Bom trabalho até aqui! Se quiser, faço um gráfico mental (ou simbólico) de V(x) e E(x) para um valor numérico de \rho_{0},d,\varepsilon para você visualizar melhor.

Resposta

V(x)=-\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon}\big(x^{4}-2d x^{3}+d^{3}x\big)
E(x)=\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon}\big(4x^{3}-6d x^{2}+d^{3}\big)

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