As placas de um capacitor são separadas por uma distância
até
e aterradas (isto é, em potencial nulo). O dielétrico entre as placas tem permissividade
e uma densidade volumétrica de carga
distribuída pelo dielétrico. Ache 0 potencial e a intensidade de campo elétrico entre as placas do capacitor.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o quê:
- Placas do capacitor em
e estão aterradas: isto é, as condições de contorno para o potencial são e . - O dielétrico entre as placas tem permissividade
. - Há uma densidade volumétrica de carga distribuída no dielétrico dada por
(unidades ), válida para . - O que se pede: encontrar o potencial elétrico
e a intensidade do campo elétrico entre as placas (no intervalo ).
Passo 2
Princípio e equação a usar (mini-aula rápida e direta).
- Para um dielétrico homogêneo com permissividade
e densidade de carga volumétrica vale a equação de Poisson:
- No caso unidimensional (variação só em
) a equação reduz-se a
- A relação entre potencial e campo elétrico é
em 1D isso significa
Explicação curta:
. Com
constante torna-se
. Usando
obtemos Poisson acima.
Passo 3
Escrever a equação de Poisson com a densidade dada.
- Peguei a densidade do enunciado:
. - Então a equação fica
Passo 4
Integrar uma vez para obter
.
- Integramos em
:
- Calculando a integral:
Aqui
é constante de integração ainda a determinar pelas condições de contorno sobre
.
Passo 5
Integrar uma segunda vez para obter
com constantes
.
- Integramos novamente:
- Aplicando a condição em
: implica
Passo 6
Determinar
usando
.
- Aplicando
na expressão (com ):
- Simplificando o parêntese:
- Substituindo:
- Logo
Passo 7
Escrever
final substituindo
e
.
- Substituindo os valores das constantes na expressão de
:
- Colocando em forma simplificada (fator comum
):
Verificação rápida:
e
ficam satisfeitas.
Passo 8
Calcular o campo elétrico
.
- Derivando a expressão de
:
- Portanto
- Checagem de consistência: derivando
obtém-se
o que coincide com a lei de Gauss diferencial
em 1D (confirmando que não houve erro de sinal ou de constantes).
Passo 9
Interpretação rápida e comentário motivador.
- As fórmulas acima dão o potencial e o campo em todo o intervalo
. Se , a densidade é negativa no interior (pois ), e isso aparece no sinal das soluções: pode assumir sinais negativos dependendo de e de . O importante é que as condições de contorno foram respeitadas. - Bom trabalho até aqui! Se quiser, faço um gráfico mental (ou simbólico) de
e para um valor numérico de para você visualizar melhor.