Uma nave espacial move-se em uma órbita circular de raio
ap_redor da Terra com período
. Então, com a ajuda de đuas correções de curso separadas, a nave espacial é colocada em uma nova órbita circular de raio
. Na primeira correção, apenas a magnitude da velocidade da nave espacial é alterada, mantendo sua direção inalterada. Na segunda correção, que é realizada no primeiro momento apropriado, somente a direção da velocidade da nave espacial é alterada, enquanto sua magnitude permanece inalterada.
2) Em que percentagem a energia cinética é aumentada durante a primeira correção de curso?
b) Em que ângulo a direção da velocidade é alterada durante a segunda correção?
c) Encontre o tempo decorrido entre as duas correções. (Suponha que as correções de curso são realizadas instantaneamente.)
2) Em que percentagem a energia cinética é aumentada durante a primeira correção de curso?
b) Em que ângulo a direção da velocidade é alterada durante a segunda correção?
c) Encontre o tempo decorrido entre as duas correções. (Suponha que as correções de curso são realizadas instantaneamente.)
Passo 1
O enunciado (resumido e organizado) nos dá:
- Uma nave em órbita circular de raio
em torno da Terra, com período . - Depois são feitas duas correções instantâneas:
- Na primeira correção apenas a magnitude da velocidade é alterada (a direção permanece a mesma, isto é, tangencial ao círculo em
). - A nave segue em sua órbita resultante e, no primeiro instante apropriado em que se encontra em
, faz-se a segunda correção: aí modifica-se somente a direção da velocidade (mantendo a magnitude inalterada), de modo a ficar numa órbita circular de raio .
- Na primeira correção apenas a magnitude da velocidade é alterada (a direção permanece a mesma, isto é, tangencial ao círculo em
O que é pedido:
(a) Em que percentagem a energia cinética aumenta durante a primeira correção?
(b) Em que ângulo a direção da velocidade é alterada na segunda correção?
(c) Qual é o tempo decorrido entre as duas correções (em função de )?
(a) Em que percentagem a energia cinética aumenta durante a primeira correção?
(b) Em que ângulo a direção da velocidade é alterada na segunda correção?
(c) Qual é o tempo decorrido entre as duas correções (em função de
Informações úteis que vamos usar (sem resolver ainda):
- Constante gravitacional
(massa do corpo central ). - Velocidade orbital circular em raio
: . - Equação vis-viva (velocidade em qualquer ponto da órbita):
, onde é o semi-eixo maior da órbita. - Momentos das manobras são instantâneos e a primeira mantém a direção tangencial.
Passo 2
Vamos começar definindo a velocidade inicial na órbita de raio
. Seja
. A velocidade circular inicial é
Depois da primeira correção a velocidade (mesma direção, tangencial) passa a ser
onde
é um número a determinar. A energia específica (por unidade de massa) imediatamente após a correção vale
Substituindo
obtemos
O semi-eixo maior
da órbita resultante está relacionado com
por
Substituindo
:
Passo 3
Agora aplicamos a equação vis-viva para achar a velocidade quando a nave atingir
. Pela vis-viva:
Usando
temos
. Portanto
Logo
Pelo enunciado, na altura da segunda correção a magnitude da velocidade já coincide com a necessária para a órbita circular de raio
, ou seja
Igualando as duas expressões para a velocidade em
:
Portanto
Passo 4
(correspondente ao item a) A energia cinética específica (por unidade de massa) é
. A razão entre a nova energia cinética e a antiga é
. Assim o aumento percentual da energia cinética é
Passo 5
(para o item b) Agora determinamos o ângulo entre a velocidade da nave imediatamente antes da segunda correção e a velocidade tangencial necessária para a órbita circular em
.
Usamos conservação do momento angular por unidade de massa
. Imediatamente após a primeira correção (na posição
) o momento angular é
O componente tangencial da velocidade na distância
é
. Em
temos
Já a magnitude total da velocidade em
é (vemos no passo 3)
O ângulo
entre a velocidade atual (vetor resultante, que tem componente tangencial
e componente radial) e a direção tangencial satisfaz
Substituindo
e
:
Como
obtemos
Portanto
Interpretação física: na segunda correção há que girar o vetor velocidade em
(eliminar a componente radial) deixando a magnitude igual; após isso a velocidade fica puramente tangencial e igual à necessária para circular a
.
Passo 6
(para o item c) Agora achamos o tempo desde a primeira correção (feito em
, que é o pericentro da nova órbita) até o instante em que a nave atinge pela primeira vez
.
Temos já o semi-eixo maior
da órbita resultante. Usando
e
obtemos
O periastro é
, logo a excentricidade é
Para uma órbita elíptica a relação entre o raio
e a anomalia excêntrica
é
Queremos
e sabemos
,
. Então
A primeira solução positiva é
.
O anomalia média
associada é
O período da órbita elíptica obtida é
Mas
e o período inicial circular era
. Assim
O tempo desde o periastro até a posição com anomalia média
é
Simplificando:
Uma forma mais direta e legível é
Numericamente,
, ou seja, cerca de
de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)