Obtenha a variação de entropia de 1,0 \mathrm{~kg} de água aquecida de 25^{\circ} \mathrm{C} até a temperatura de ebulição, sob pressão constante de 1 atm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Massa da água: m=1{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Processo: aquecimento até a temperatura de ebulição sob pressão 1\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura final (ebulição a 1\\ \mathrm{atm}): 100^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: variação de entropia da água durante esse aquecimento (ou seja, da água líquida, sem considerar a vaporização).
Observação importante: o aquecimento é do líquido de 25^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}, portanto NÃO inclui a mudança de fase (vaporização). A variação de entropia de interesse é a associada ao aquecimento do líquido.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida de entropia para aquecimento).
A definição termodinâmica diferencial da entropia é
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde:
  • \mathrm{d}S é a variação infinitesimal de entropia,
  • \delta Q_{\text{rev}} é a pequena quantidade de calor trocada de forma reversível,
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin) naquele instante.
Para um processo de aquecimento reversível de uma substância com capacidade térmica específica (à pressão constante) c_p, a troca de calor reversível é
\delta Q_{\text{rev}} = m\,c_p\,\mathrm{d}T,
onde:
  • m é a massa,
  • c_p é a capacidade térmica específica à pressão constante (unidade usual \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • \mathrm{d}T é a variação de temperatura.
Substituindo em \mathrm{d}S e integrando entre as temperaturas inicial e final obtém-se a variação de entropia:
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{m\,c_p\,\mathrm{d}T}{T}=m\,c_p\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T}=m\,c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explicando as escolhas:
  • Foi usada a aproximação c_p constante. Para água líquida entre 25^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C} a variação de c_p é pequena, então usar c_p médio é aceitável em problemas de prova.
  • Para água líquida tomamos c_p\approx 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor padrão).

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin (lembre: sempre usar Kelvin em integrals de \mathrm{d}Q/T).
  • Temperatura inicial: T_1=25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_2=100^\circ\mathrm{C}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K}.
Dados numéricos a usar:
  • m=1{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • c_p=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor típico para água líquida).

Passo 4

Aplicar a fórmula \displaystyle \Delta S = m\,c_p\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) e calcular passo a passo.
Primeiro a razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{373{,}15}{298{,}15}=1{,}252703\ldots
Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{373{,}15}{298{,}15}\right)\approx 0{,}2253.
Multiplicando por m\,c_p:
\Delta S = 1{,}0\cdot 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\cdot 0{,}2253 \approx 943{,}7\\ \mathrm{J/K}.
(Se quiser em \mathrm{kJ/K}: \Delta S\approx 0{,}9437\\ \mathrm{kJ/K}.)

Passo 5

Verificação de unidades e interpretação.
  • Unidade: \mathrm{J/K}, correta para entropia.
  • Interpretação física: a entropia aumentou porque calor foi fornecido ao sistema ao aquecê-lo; o valor obtido é a quantidade de aumento de desordem térmica associada ao aquecimento reversível do líquido de 25^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\Delta S \approx 944\\ \mathrm{J/K}

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