6* - Dois recipientes de volumes V_{1} e V_{2}, isolados termicamente do meio exterior, estão ligados por um tubo com uma válvula, que está inicialmente fechada. Eles contêm, respectivamente, N_{1} e N_{2} moléculas de gases monoatômicos, com pressões e temperaturas p_{1}, p_{2}, T_{1} e T_{2}. Depois de a válvula ser aberta, mostre que a temperatura e pressão finais são
T=\frac{N_{1} T_{1}+N_{2} T_{2}}{N_{1}+N_{2}} \quad \text { e } \quad p=\frac{p_{1} V_{1}+p_{2} V_{2}}{V_{1}+V_{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Dois recipientes rigidamente vedados (volumes fixos) com volumes V_{1} e V_{2}.
    • Eles estão isolados termicamente do meio exterior; a válvula entre eles está inicialmente fechada.
    • No recipiente 1 há N_{1} moléculas de gás monoatômico, com pressão p_{1} e temperatura T_{1}.
    • No recipiente 2 há N_{2} moléculas de gás monoatômico, com pressão p_{2} e temperatura T_{2}.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que, depois de abrir a válvula e atingido o equilíbrio, a temperatura comum final é
    T=\frac{N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}}{N_{1}+N_{2}}
    e a pressão final comum é
    p=\frac{p_{1}V_{1}+p_{2}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}.
Observações que não resolvem nada ainda: o sistema é isolado globalmente (não troca calor com o exterior) e o número total de moléculas é conservado ( N_{\rm tot}=N_{1}+N_{2}). A válvula permite trocar moléculas e energia interna entre os dois recipientes até chegar ao equilíbrio.

Passo 2

Relembrando fórmulas e conceitos que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  • Lei dos gases ideais microscopicamente (para N moléculas):
    pV = NkT,
    onde p é a pressão, V o volume, N o número de moléculas, k a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. Aqui cada símbolo significa:
    • p: pressão do gás no recipiente considerado;
    • V: volume disponível para esse gás;
    • N: número de moléculas naquele volume;
    • k: constante de Boltzmann ( k\approx1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K});
    • T: temperatura absoluta em kelvin.
    Explicação rápida: essa é a forma microscópica da equação de estado do gás ideal; com ela podemos relacionar p,V,N,T de cada porção de gás.
  • Energia interna do gás monoatômico ideal:
    U = \frac{3}{2}NkT.
    Significado:
    • Para um gás monoatômico ideal a energia interna é puramente energia cinética das moléculas; cada molécula tem 3 graus de liberdade de translação, dando o fator 3/2.
    • U é a energia interna total do conjunto de N moléculas à temperatura T.
Esses dois resultados são suficientes para ligar pressão, temperatura, número de moléculas e energia interna.

Passo 3

Conservação da energia interna total do sistema isolado — obter T.
  • Por que a energia interna total se conserva? O sistema formado pelos dois recipientes mais o gás é isolado termicamente do exterior e os volumes V_{1},V_{2} são fixos (recipientes rígidos). Ao abrir a válvula pode haver trocas internas de energia entre as duas porções de gás (através de colisões e fluxo de moléculas), mas não há troca de energia com o meio exterior nem trabalho externo realizado (as paredes rígidas não se movem). Assim, a energia interna total inicial é igual à energia interna total final.
  • Escrevendo isso com a fórmula de energia interna para cada porção:
    • Energia interna inicial do conjunto: U_{\text{inicial}}=\frac{3}{2}k\bigl(N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}\bigr).
    • Energia interna final do conjunto (quando alcançado equilíbrio térmico, com temperatura final comum T): U_{\text{final}}=\frac{3}{2}k\bigl(N_{1}+N_{2}\bigr)T.
    Igualando U_{\text{inicial}}=U_{\text{final}} pela conservação de energia:
    \frac{3}{2}k\bigl(N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}\bigr)=\frac{3}{2}k\bigl(N_{1}+N_{2}\bigr)T.
  • Simplificando (o fator \tfrac{3}{2}k cancela):
    N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}=(N_{1}+N_{2})T.
  • Portanto, a temperatura final é
    T=\frac{N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}}{N_{1}+N_{2}}.
Comentário amigo: essa é uma média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelo número de moléculas — faz sentido físico: cada molécula carrega energia proporcional à sua temperatura, e no equilíbrio a energia por molécula (temperatura) se ajusta para conservar a energia total.

Passo 4

Justificando que a pressão final é a mesma em ambos os recipientes e preparando a equação para p.
  • Por que a pressão final é única? Ao abrir a válvula haverá fluxo de partículas até que não haja mais fluxo líquido. Em equilíbrio mecânico (sem fluxo) a pressão interna deve ser a mesma nos dois lados; se houvesse diferença de pressão haveria fluxo persistente. Então a pressão final p é única e comum aos dois volumes.
  • Aplicando a lei dos gases ideais ao conjunto total de volume V_{\rm tot}=V_{1}+V_{2} e total de moléculas N_{\rm tot}=N_{1}+N_{2} na temperatura final T, temos:
    p(V_{1}+V_{2})=(N_{1}+N_{2})kT.
    Essa equação é simplesmente a lei dos gases aplicada ao sistema todo tratado como um único recipiente de volume V_1+V_2.

Passo 5

Expressar p em termos dos dados iniciais usando as identidades p_{i}V_{i}=N_{i}kT_{i}.
  • Observação: das condições iniciais vale para cada porção
    p_{1}V_{1}=N_{1}kT_{1},\qquad p_{2}V_{2}=N_{2}kT_{2},
    porque cada porção inicialmente satisfaz a lei dos gases ideais.
  • Substituindo a expressão de T obtida no Passo 3 na equação do Passo 4:
    p(V_{1}+V_{2})=(N_{1}+N_{2})k\left(\frac{N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}}{N_{1}+N_{2}}\right).
    O fator (N_{1}+N_{2}) cancela:
    p(V_{1}+V_{2})=k\bigl(N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}\bigr).
  • Agora usar N_{1}kT_{1}=p_{1}V_{1} e N_{2}kT_{2}=p_{2}V_{2} (peguei esses dados a partir da lei dos gases ideais aplicada inicialmente):
    p(V_{1}+V_{2})=p_{1}V_{1}+p_{2}V_{2}.
  • Finalmente, isolando p:
    p=\frac{p_{1}V_{1}+p_{2}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}.

Passo 6

Pequena interpretação e verificação dimensional.
  • Interpretação rápida: a pressão final é a média ponderada das pressões iniciais, ponderada pelos volumes correspondentes — faz sentido: cada porção contribui com p_{i}V_{i} (que é proporcional à energia térmica inicial naquela parte) para a pressão total dividida pelo volume total.
  • Verificação de unidades: p_{i}V_{i} tem unidades de energia (J), divisão por volume dá pressão; a expressão é homogênea em unidades.

Passo 7

Resumo do raciocínio (para decorar e aplicar em prova).
  • Passos-chave que se deve lembrar num problema desses:
    1. Identificar que o sistema total é isolado → conservar energia interna total.
    2. Usar U=\tfrac{3}{2}NkT (monoatômico) para escrever energia interna inicial e final e obter T.
    3. Usar a lei dos gases pV=NkT para o sistema total (ou substituir N_{i}kT_{i}=p_{i}V_{i}) para obter p.
  • Dica prática para prova: escreva logo U_{\rm in}=\tfrac{3}{2}k(N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}) e iguale a \tfrac{3}{2}k(N_{1}+N_{2})T; depois use p(V_{1}+V_{2})=(N_{1}+N_{2})kT e substitua. Rápido e seguro.

Resposta

T=\dfrac{N_{1}T_{1}+N_{2}T_{2}}{N_{1}+N_{2}}
p=\dfrac{p_{1}V_{1}+p_{2}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}

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