6* - Dois recipientes de volumes
e
, isolados termicamente do meio exterior, estão ligados por um tubo com uma válvula, que está inicialmente fechada. Eles contêm, respectivamente,
e
moléculas de gases monoatômicos, com pressões e temperaturas
e
. Depois de a válvula ser aberta, mostre que a temperatura e pressão finais são
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Dois recipientes rigidamente vedados (volumes fixos) com volumes
e . - Eles estão isolados termicamente do meio exterior; a válvula entre eles está inicialmente fechada.
- No recipiente 1 há
moléculas de gás monoatômico, com pressão e temperatura . - No recipiente 2 há
moléculas de gás monoatômico, com pressão e temperatura .
- Dois recipientes rigidamente vedados (volumes fixos) com volumes
-
O que é pedido:
- Mostrar que, depois de abrir a válvula e atingido o equilíbrio, a temperatura comum final é
e a pressão final comum é
Observações que não resolvem nada ainda: o sistema é isolado globalmente (não troca calor com o exterior) e o número total de moléculas é conservado (
). A válvula permite trocar moléculas e energia interna entre os dois recipientes até chegar ao equilíbrio.
Passo 2
Relembrando fórmulas e conceitos que vamos usar (explicadinho passo a passo).
-
Lei dos gases ideais microscopicamente (para
moléculas): ondeé a pressão, o volume, o número de moléculas, a constante de Boltzmann e a temperatura absoluta. Aqui cada símbolo significa: -
: pressão do gás no recipiente considerado; -
: volume disponível para esse gás; -
: número de moléculas naquele volume; -
: constante de Boltzmann ( ); -
: temperatura absoluta em kelvin.
Explicação rápida: essa é a forma microscópica da equação de estado do gás ideal; com ela podemos relacionarde cada porção de gás. -
-
Energia interna do gás monoatômico ideal:Significado:
- Para um gás monoatômico ideal a energia interna é puramente energia cinética das moléculas; cada molécula tem
graus de liberdade de translação, dando o fator . -
é a energia interna total do conjunto de moléculas à temperatura .
- Para um gás monoatômico ideal a energia interna é puramente energia cinética das moléculas; cada molécula tem
Esses dois resultados são suficientes para ligar pressão, temperatura, número de moléculas e energia interna.
Passo 3
Conservação da energia interna total do sistema isolado — obter
.
-
Por que a energia interna total se conserva? O sistema formado pelos dois recipientes mais o gás é isolado termicamente do exterior e os volumes
são fixos (recipientes rígidos). Ao abrir a válvula pode haver trocas internas de energia entre as duas porções de gás (através de colisões e fluxo de moléculas), mas não há troca de energia com o meio exterior nem trabalho externo realizado (as paredes rígidas não se movem). Assim, a energia interna total inicial é igual à energia interna total final. -
Escrevendo isso com a fórmula de energia interna para cada porção:
- Energia interna inicial do conjunto:
- Energia interna final do conjunto (quando alcançado equilíbrio térmico, com temperatura final comum
):
Igualandopela conservação de energia: - Energia interna inicial do conjunto:
-
Simplificando (o fator
cancela): -
Portanto, a temperatura final é
Comentário amigo: essa é uma média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelo número de moléculas — faz sentido físico: cada molécula carrega energia proporcional à sua temperatura, e no equilíbrio a energia por molécula (temperatura) se ajusta para conservar a energia total.
Passo 4
Justificando que a pressão final é a mesma em ambos os recipientes e preparando a equação para
.
-
Por que a pressão final é única? Ao abrir a válvula haverá fluxo de partículas até que não haja mais fluxo líquido. Em equilíbrio mecânico (sem fluxo) a pressão interna deve ser a mesma nos dois lados; se houvesse diferença de pressão haveria fluxo persistente. Então a pressão final
é única e comum aos dois volumes. -
Aplicando a lei dos gases ideais ao conjunto total de volume
e total de moléculas na temperatura final , temos: Essa equação é simplesmente a lei dos gases aplicada ao sistema todo tratado como um único recipiente de volume.
Passo 5
Expressar
em termos dos dados iniciais usando as identidades
.
-
Observação: das condições iniciais vale para cada porçãoporque cada porção inicialmente satisfaz a lei dos gases ideais.
-
Substituindo a expressão de
obtida no Passo 3 na equação do Passo 4: O fatorcancela: -
Agora usar
e (peguei esses dados a partir da lei dos gases ideais aplicada inicialmente): -
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Pequena interpretação e verificação dimensional.
-
Interpretação rápida: a pressão final é a média ponderada das pressões iniciais, ponderada pelos volumes correspondentes — faz sentido: cada porção contribui com
(que é proporcional à energia térmica inicial naquela parte) para a pressão total dividida pelo volume total. -
Verificação de unidades:
tem unidades de energia (J), divisão por volume dá pressão; a expressão é homogênea em unidades.
Passo 7
Resumo do raciocínio (para decorar e aplicar em prova).
-
Passos-chave que se deve lembrar num problema desses:
- Identificar que o sistema total é isolado → conservar energia interna total.
- Usar
(monoatômico) para escrever energia interna inicial e final e obter . - Usar a lei dos gases
para o sistema total (ou substituir ) para obter .
-
Dica prática para prova: escreva logo
e iguale a ; depois use e substitua. Rápido e seguro.