Uma nave espacial, de
de volume, é atingida por um pequeno meteorito que abre no seu casco um orifício com raio de
. Se a pressão de origem no interior do veículo for, inicialmente, 100 kPa e se a temperatura for de 298 K, quanto tempo se passará até que a pressão caia de 70 kPa?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma nave espacial com um volume de
que foi atingida por um meteorito, criando um orifício no casco com raio de
. No interior da nave, a pressão inicial é de 100 kPa e a temperatura é de 298 K. A pergunta é: quanto tempo leva para a pressão cair de 100 kPa para 70 kPa?
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de gás através de um orifício e a Lei dos Gases Ideais para conectar pressão, volume e quantidade de gás. Também vamos considerar que a temperatura se mantém constante durante o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o raio do orifício para metros, já que as unidades de volume estão em metros cúbicos:
Passo 3
Calculamos a área do orifício usando a fórmula da área de um círculo:
Passo 4
Vamos usar a fórmula de fluxo de gás através de uma abertura pequena para fluxo isentrópico, que é:
Onde:
-
é o coeficiente de descarga (suponhamos para simplificação), -
é a área do orifício, -
é a pressão interna, -
é a razão dos calores específicos (para ar, ), -
é a constante dos gases ( para ar), -
é a temperatura.
Passo 5
Vamos reescrever a equação para encontrar o fluxo de massa:
Primeiro, calculamos o termo dentro da raiz:
Então:
Agora, calculamos
:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar esse fluxo de massa com a variação de pressão na nave. Usamos a Lei dos Gases Ideais:
Onde
é o número de mols. Podemos reescrever em termos de massa:
Onde
é a massa e
é a massa molar do ar (
).
Então:
Passo 7
Queremos determinar o tempo para que a pressão caia de
para
. A massa perdida nesse processo é:
Calculando:
Passo 8
O tempo necessário é a massa perdida dividida pelo fluxo de massa:
Resposta
O tempo necessário para a pressão cair de 100 kPa para 70 kPa é aproximadamente 2,4 segundos.