Uma nave espacial, de 3,0 m^3 de volume, é atingida por um pequeno meteorito que abre no seu casco um orifício com raio de 0,10 mm. Se a pressão de origem no interior do veículo for, inicialmente, 100 kPa e se a temperatura for de 298 K, quanto tempo se passará até que a pressão caia de 70 kPa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma nave espacial com um volume de 3,0 m^3 que foi atingida por um meteorito, criando um orifício no casco com raio de 0,10 mm. No interior da nave, a pressão inicial é de 100 kPa e a temperatura é de 298 K. A pergunta é: quanto tempo leva para a pressão cair de 100 kPa para 70 kPa?
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de gás através de um orifício e a Lei dos Gases Ideais para conectar pressão, volume e quantidade de gás. Também vamos considerar que a temperatura se mantém constante durante o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o raio do orifício para metros, já que as unidades de volume estão em metros cúbicos:
r = 0,10 mm = 0,10 times 10^-3 m = 1,0 times 10^-4 m

Passo 3

Calculamos a área do orifício usando a fórmula da área de um círculo:
A = pi r^2 = pi (1,0 times 10^-4 m)^2 = pi times 1,0 times 10^-8 m^2 approx 3,14 times 10^-8 m^2

Passo 4

Vamos usar a fórmula de fluxo de gás através de uma abertura pequena para fluxo isentrópico, que é:
dotm = C cdot A cdot P cdot raizgammaR T
Onde:
  • C é o coeficiente de descarga (suponhamos C = 1 para simplificação),
  • A é a área do orifício,
  • P é a pressão interna,
  • gamma é a razão dos calores específicos (para ar, gamma approx 1,4),
  • R é a constante dos gases ( R = 287 J/(kg cdot K) para ar),
  • T é a temperatura.

Passo 5

Vamos reescrever a equação para encontrar o fluxo de massa:
dotm = A cdot P cdot raizgammaR T = 3,14 times 10^-8 m^2 times 100 times 10^3 Pa times raiz1,4287 J/(kg cdot K) times 298 K
Primeiro, calculamos o termo dentro da raiz:
Então:
gammaR T = 1,4287 times 298 approx 1,485526 approx 1,636 times 10^-5 (kg/(m cdot s^2)))
Agora, calculamos raiz1,636 times 10^-5 approx 0,004046 kg^1/2m^1/2 cdot s :
dotm

Passo 6

Agora, precisamos relacionar esse fluxo de massa com a variação de pressão na nave. Usamos a Lei dos Gases Ideais:
P V = n R T
Onde n é o número de mols. Podemos reescrever em termos de massa:
P V = mM R T
Onde m é a massa e M é a massa molar do ar ( M approx 0,029 kg/mol).
Então:
m = P V MR T

Passo 7

Queremos determinar o tempo para que a pressão caia de Pi = 100 kPa para Pf = 70 kPa. A massa perdida nesse processo é:
De
Calculando:
De
De

Passo 8

O tempo necessário é a massa perdida dividida pelo fluxo de massa:
t = De

Resposta

O tempo necessário para a pressão cair de 100 kPa para 70 kPa é aproximadamente 2,4 segundos.

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