1. Um nave está perto da órbita de um planeta na posição (1,1,1). Sabendo que a temperatura da blindagem da nave em cada ponto é dada por T(x, y, z)=e^{-\left(x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}\right)} graus, determine a direção que a nave deve tomar para perder temperatura o mais rapidamente possível.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da blindagem da nave em cada ponto do espaço por
T(x,y,z) = e^{-\bigl(x^{2} + 3y^{2} + 2z^{2}\bigr)}
e informa que a nave está no ponto (1,1,1). Precisamos encontrar a direção de movimento que faz a temperatura decrescer o mais rapidamente possível. Vamos usar gradiente e direção de máxima variação.

Passo 2

Para uma função escalar T, o vetor gradiente \nabla T aponta na direção de maior aumento de T. Logo, a direção de maior diminuição de T é a direção oposta a \nabla T, ou seja, -\nabla T. Para obter apenas a direção (e não o módulo), normalizamos esse vetor.

Passo 3

Calculamos simbolicamente as derivadas parciais de
T(x,y,z) = e^{-\bigl(x^{2} + 3y^{2} + 2z^{2}\bigr)}.
Como \displaystyle \frac{d}{du} e^{u} = e^{u}, aplicando a regra da cadeia temos
\frac{\partial T}{\partial x} = e^{-\bigl(x^{2}+3y^{2}+2z^{2}\bigr)} \cdot \bigl(-2x\bigr) = -2x\,e^{-\bigl(x^{2}+3y^{2}+2z^{2}\bigr)},
\frac{\partial T}{\partial y} = -6y\,e^{-\bigl(x^{2}+3y^{2}+2z^{2}\bigr)},
\frac{\partial T}{\partial z} = -4z\,e^{-\bigl(x^{2}+3y^{2}+2z^{2}\bigr)}.
Portanto,
\nabla T(x,y,z) = \bigl(-2x,\,-6y,\,-4z\bigr)\,e^{-\bigl(x^{2}+3y^{2}+2z^{2}\bigr)}.

Passo 4

Avaliamo o gradiente em (1,1,1):
\nabla T(1,1,1) = \bigl(-2\cdot1,\,-6\cdot1,\,-4\cdot1\bigr)\,e^{-\bigl(1^{2}+3\cdot1^{2}+2\cdot1^{2}\bigr)} = \bigl(-2,-6,-4\bigr)\,e^{-6}.
A direção de máximo decréscimo é
-\nabla T(1,1,1) = \bigl(2,6,4\bigr)\,e^{-6}.

Passo 5

Para obter a direção unitária, normalizamos (2,6,4). O módulo é
\bigl\|(2,6,4)\bigr\| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}.
Logo a direção unitária de maior decréscimo de T em (1,1,1) é
\frac{1}{2\sqrt{14}}\,(2,6,4) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{3}{\sqrt{14}},\,\tfrac{2}{\sqrt{14}}\Bigr).

Resposta

A nave deve seguir na direção do vetor unitário
\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{3}{\sqrt{14}},\,\tfrac{2}{\sqrt{14}}\Bigr),
pois é o sentido de maior decréscimo de T.

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