Determine a derivada direcional da função dada na direção \vec{v} :
z=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=\dfrac1{x^2+y^2}
na direção do vetor \vec v=(1,1).
Sabemos que a derivada direcional em uma direção unitária u é dada por
D_u f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u,
então o plano é (i) calcular \nabla f, (ii) normalizar \vec v para obter u, (iii) fazer o produto escalar.

Passo 2

Derivamos parcialmente f em relação a x e y:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl((x^2+y^2)^{-1}\Bigr) = -1\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}.
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\nabla f(x,y) =\Bigl(-\tfrac{2x}{(x^2+y^2)^2},\,-\tfrac{2y}{(x^2+y^2)^2}\Bigr).

Passo 3

Normalizamos \vec v para obter o vetor unitário u:
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, \qquad u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\,\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).

Passo 4

Fazemos o produto escalar \nabla f\cdot u:
D_u f(x,y) =\nabla f(x,y)\cdot u =-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\cdot\frac1{\sqrt2} -\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}\cdot\frac1{\sqrt2} =-\frac{2(x+y)}{\sqrt2\,\bigl(x^2+y^2\bigr)^2}.

Resposta

D_{\vec v}f(x,y) =-\frac{2(x+y)}{\sqrt2\,(x^2+y^2)^2}.

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