Um navio de 39 m de comprimento é reproduzido, em escala reduzida, com o comprimento de 2,44 \mathrm{~m}. Ọ modelo é testado em água doce ( \delta=1,0 ) medindo-se a resistência oferecida pelas ondas ao movimento do barco. Ao ser simulada a velocidade de deslocamento de 0,88 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (protótipo) mediu-se, no modelo, uma força resistente de 43 N . Admitindo-se que o critério de Froude seja o mais adequado para reproduzir corretamente as condições de semelhança neste caso, pergunta-se:
(a) Qual a velocidade do modelo do navio ?
(b) Que força será necessária para manter o protótipo em movimento à velocidade de 0,88 \mathrm{m} / \mathrm{s} em água salgada (\delta=1,026) ?

Passo 1

O protótipo tem comprimento L_p=39{,}0\,\mathrm{m} e deve deslocar-se a v_p=0{,}88\,\mathrm{m/s} em água salgada \delta_p=1{,}026. O modelo reduzido mede L_m=2{,}44\,\mathrm{m}, é testado em água doce \delta_m=1{,}0 e a resistência medida foi R_m=43\,\mathrm{N}. Como o critério de semelhança é o número de Froude, vamos usar
\mathrm{Fr} = \frac{v}{\sqrt{g\,L}}
igual para protótipo e para modelo.

Passo 2

Calcular a escala longitudinal
\lambda = \frac{L_m}{L_p} = \frac{2{,}44}{39{,}0}\approx0{,}06256.
Para manter \mathrm{Fr}_p=\mathrm{Fr}_m, vale
\frac{v_m}{\sqrt{g\,L_m}} = \frac{v_p}{\sqrt{g\,L_p}} \quad\Longrightarrow\quad v_m = v_p\sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = v_p\sqrt{\lambda}.

Passo 3

Substituindo os valores:
v_m = 0{,}88\,\mathrm{m/s}\;\sqrt{0{,}06256} \approx 0{,}88\times0{,}2501 \approx0{,}22\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

Sob semelhança de Froude, a resistência na via livre de onda escala como
R\;\propto\;\rho\,g\,L^3,
logo
\frac{R_p}{R_m} = \frac{\rho_p}{\rho_m}\, \Bigl(\frac{L_p}{L_m}\Bigr)^{3}.

Passo 5

As densidades são \rho_m=1000\,\mathrm{kg/m^3} e \rho_p=1{,}026\times1000=1026\,\mathrm{kg/m^3}. Com L_p/L_m=1/\lambda\approx15{,}9836, temos
R_p = 43\;\mathrm{N}\;\times\frac{1026}{1000}\times(15{,}9836)^{3} \approx43\times1{,}026\times4084 \approx1{,}8\times10^5\;\mathrm{N}.

Resposta

(a) v_m\approx0{,}22\,\mathrm{m/s}.
(b) R_p\approx1{,}8\times10^{5}\,\mathrm{N}.

Exercícios relacionados