2.13 Uma única camada de esferas de aço é fixada no piso de vidro de um canal bidimensional aberto. Água com viscosidade cinemática igual a 9,3-10-7 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s} flui no canal com uma profundidade de 0,30 \mathrm{~m}, sendo a velocidade na superfície igual a 0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, mostre que para esferas de 7,2 \mathrm{~mm} de diâmetro e de 0,3 \mathrm{~mm} de diâmetro, o fundo do canal pode ser classificado como completamente rugoso e liso, respectivamente. Assuma um perfil de velocidade logarítmico no canal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num escoamento aberto de água (viscosidade cinemática \nu=9,3\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}), com profundidade H=0,30\,\mathrm{m} e velocidade na superfície u_H=0,25\,\mathrm{m/s}, a camada de esferas no fundo pode ser classificada como completamente rugosa quando o diâmetro é 7{,}2\,\mathrm{mm} e como hidraulicamente lisa quando o diâmetro é 0{,}3\,\mathrm{mm}. Vamos usar o perfil de velocidade logarítmico de parede lisa para determinar a velocidade de atrito u_* e, em seguida, calcular o número de rugosidade adimensionalizado k_s^+=k_s\,u_*/\nu.

Passo 2

No regime hidraulicamente liso, o perfil de velocidades é dado por
\frac{u(y)}{u_*}=\frac{1}{\kappa}\ln\!\biggl(\frac{y\,u_*}{\nu}\biggr)+B
onde \kappa=0{,}41 é a constante de von Kármán e B\approx5{,}0. Em particular, em y=H a relação fica
\frac{u_H}{u_*} =\frac{1}{0{,}41}\ln\!\biggl(\frac{H\,u_*}{\nu}\biggr)+5{,}0.
Definimos \xi = u_H/u_*, de modo que u_*=u_H/\xi. Substituindo, obtemos a equação implícita em \xi:
\xi =\frac{1}{0{,}41}\Bigl[\ln\bigl(H\,u_H/(\nu\,\xi)\bigr)\Bigr]+5{,}0.

Passo 3

Vamos resolver numericamente
\xi =2{,}439\Bigl[\ln\bigl(0{,}3\cdot0{,}25/(\;9{,}3\times10^{-7}\,\xi)\bigr)\Bigr]+5{,}0.
Calculando \ln(0{,}3\cdot0{,}25/9{,}3\times10^{-7})=\ln(80645)\approx11{,}298,
a equação vira
\xi =2{,}439\,(11{,}298-\ln\xi)+5{,}0 \quad\Longrightarrow\quad \xi+2{,}439\,\ln\xi=32{,}562.
Por tentativa e erro (ou método numérico), encontra-se
\xi\approx24{,}8 \quad\Longrightarrow\quad u_*=\frac{u_H}{\xi}=\frac{0,25}{24{,}8}\approx0{,}0101\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Com u_* determinado, o número de rugosidade adimensional é
k_s^+=\frac{k_s\,u_*}{\nu}.
Para k_s=7{,}2\,\mathrm{mm}=7{,}2\times10^{-3}\,\mathrm{m}:
k_s^+=\frac{7{,}2\times10^{-3}\cdot0{,}0101}{9{,}3\times10^{-7}} \approx78.
Para k_s=0{,}3\,\mathrm{mm}=3{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m}:
k_s^+=\frac{3{,}0\times10^{-4}\cdot0{,}0101}{9{,}3\times10^{-7}} \approx3{,}3.

Passo 5

Na classificação hidrodinâmica de rugosidade:
– Se k_s^+>70, o escoamento está em regime completamente rugoso.
– Se k_s^+<5, o escoamento está em regime hidraulicamente liso.
Aqui:
– Para 7{,}2\,\mathrm{mm}, k_s^+\approx78>70: completamente rugoso.
– Para 0{,}3\,\mathrm{mm}, k_s^+\approx3{,}3<5: hidraulicamente liso.

Resposta

Para esferas de 7,2\,\mathrm{mm}, o fundo é completamente rugoso.
Para esferas de 0,3\,\mathrm{mm}, o fundo é hidraulicamente liso.

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