2.13 Uma única camada de esferas de aço é fixada no piso de vidro de um canal bidimensional aberto. Água com viscosidade cinemática igual a
flui no canal com uma profundidade de
, sendo a velocidade na superfície igual a
, mostre que para esferas de
de diâmetro e de
de diâmetro, o fundo do canal pode ser classificado como completamente rugoso e liso, respectivamente. Assuma um perfil de velocidade logarítmico no canal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num escoamento aberto de água (viscosidade cinemática
), com profundidade
e velocidade na superfície
, a camada de esferas no fundo pode ser classificada como completamente rugosa quando o diâmetro é
e como hidraulicamente lisa quando o diâmetro é
. Vamos usar o perfil de velocidade logarítmico de parede lisa para determinar a velocidade de atrito
e, em seguida, calcular o número de rugosidade adimensionalizado
.
Passo 2
No regime hidraulicamente liso, o perfil de velocidades é dado por
onde
é a constante de von Kármán e
. Em particular, em
a relação fica
Definimos
, de modo que
. Substituindo, obtemos a equação implícita em
:
Passo 3
Vamos resolver numericamente
Calculando
,
a equação vira
a equação vira
Por tentativa e erro (ou método numérico), encontra-se
Passo 4
Com
determinado, o número de rugosidade adimensional é
Para
:
Para
:
Passo 5
Na classificação hidrodinâmica de rugosidade:
– Se , o escoamento está em regime completamente rugoso.
– Se , o escoamento está em regime hidraulicamente liso.
– Se
– Se
Aqui:
– Para ,
: completamente rugoso.
– Para ,
: hidraulicamente liso.
– Para
– Para
Resposta
Para esferas de
, o fundo é completamente rugoso.
Para esferas de , o fundo é hidraulicamente liso.
Para esferas de