Uma arma dispara um projétil com velocidade de
formando um ângulo de
com o solo. Encontre:
(a) A velocidade e a posição do projétil após
;
(b) O alcance e o tempo necessário para o projétil voltar ao solo.
(a) A velocidade e a posição do projétil após
(b) O alcance e o tempo necessário para o projétil voltar ao solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo:
- Dados fornecidos:
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento com o solo:
. - Aceleração da gravidade (adotada):
.
- Velocidade inicial:
- Perguntas:
- (a) A velocidade (vetor/módulo/direção) e a posição do projétil após
. - (b) O alcance (distância horizontal total) e o tempo necessário para o projétil voltar ao solo.
- (a) A velocidade (vetor/módulo/direção) e a posição do projétil após
Passo 2
Conceito-chave (como aprender a usar na prova): decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. A ideia é que o movimento horizontal e o vertical são independentes (sem resistência do ar):
- Componente horizontal da velocidade inicial:
Aqui é a velocidade na direção (horizontal), é a velocidade inicial e é o ângulo medido a partir do solo. - Componente vertical da velocidade inicial:
Aqui é a velocidade na direção (vertical, positiva para cima).
Vamos calcular essas componentes usando
,
e
:
Passo 3
Fórmulas do movimento projetil (úteis na prova; memorize-as e saiba quando usar):
- Posição horizontal em função do tempo:
(não há aceleração horizontal no modelo sem resistência do ar). - Posição vertical em função do tempo:
(a aceleração vertical é porque a gravidade puxa para baixo). - Componentes da velocidade em função do tempo:
- Módulo da velocidade no instante
: - Direção da velocidade (ângulo em relação ao horizontal) no instante
:
Passo 4
Aplicando as fórmulas para
:
Primeiro as componentes da velocidade:
Calcule numericamente:
Agora o módulo da velocidade em
:
Calcule:
Direção da velocidade (ângulo acima da horizontal) em
:
Passo 5
Posição do projétil no instante
:
Componente horizontal:
Componente vertical:
Calcule passo a passo:
Portanto, a posição é aproximadamente
.
Passo 6
Agora a parte (b): tempo de voo e alcance. Para achar o tempo total até o projétil voltar ao solo, usamos a condição
(excluindo
). A solução direta, quando o projétil é lançado e retorna ao mesmo nível do lançamento, é:
Explicando por que: a velocidade vertical sobe até zero no ponto mais alto e depois desce; o tempo de subida é
, então o tempo total de subida + descida é o dobro.
Substituindo
:
Calcule numericamente:
Passo 7
Alcance horizontal (distância total percorrida até voltar ao solo):
- Pode-se usar a fórmula direta
ou a fórmula conhecida
Usando
e
:
Verificação rápida usando a outra fórmula:
, então
mesmo resultado numérico.
Passo 8
Arredondamentos finais e interpretação para a prova:
- Nas contas apresentadas usei aproximações decimais para
e . Em prova, deixe as formas exatas (com ) quando possível e só arredonde no final. - Valores principais obtidos (já calculados nos passos anteriores) serão colocados de forma direta na resposta final abaixo.
Resposta
(a) Velocidade em
: componentes
; módulo
e direção
. Posição em
:
.
(b) Tempo de voo total
. Alcance
.