Uma arma dispara um projétil com velocidade de 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s} formando um ângulo de 60^{\circ} com o solo. Encontre:
(a) A velocidade e a posição do projétil após 15 s;
(b) O alcance e o tempo necessário para o projétil voltar ao solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial: \,v_0=200\\ \mathrm{m/s}.
    • Ângulo de lançamento com o solo: \,\theta=60^\circ.
    • Aceleração da gravidade (adotada): \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Perguntas:
    • (a) A velocidade (vetor/módulo/direção) e a posição do projétil após \,15\\ \mathrm{s}.
    • (b) O alcance (distância horizontal total) e o tempo necessário para o projétil voltar ao solo.

Passo 2

Conceito-chave (como aprender a usar na prova): decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. A ideia é que o movimento horizontal e o vertical são independentes (sem resistência do ar):
  • Componente horizontal da velocidade inicial: v_{0x} = v_0\cos\theta.Aqui v_{0x} é a velocidade na direção x (horizontal), v_0 é a velocidade inicial e \theta é o ângulo medido a partir do solo.
  • Componente vertical da velocidade inicial: v_{0y} = v_0\sin\theta.Aqui v_{0y} é a velocidade na direção y (vertical, positiva para cima).
Vamos calcular essas componentes usando \theta=60^\circ, \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
v_{0x} = 200\cdot\frac{1}{2} = 100\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 200\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 173{,}205\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Fórmulas do movimento projetil (úteis na prova; memorize-as e saiba quando usar):
  • Posição horizontal em função do tempo: x(t) = v_{0x}\,t.(não há aceleração horizontal no modelo sem resistência do ar).
  • Posição vertical em função do tempo: y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2.(a aceleração vertical é -g porque a gravidade puxa para baixo).
  • Componentes da velocidade em função do tempo: v_x(t) = v_{0x},\qquad v_y(t) = v_{0y} - g t.
  • Módulo da velocidade no instante t: v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2}.
  • Direção da velocidade (ângulo em relação ao horizontal) no instante t: \varphi(t) = \arctan\!\bigg(\frac{v_y(t)}{v_x(t)}\bigg).

Passo 4

Aplicando as fórmulas para t=15\\ \mathrm{s}:
Primeiro as componentes da velocidade:
v_x(15) = v_{0x} = 100\\ \mathrm{m/s}.
v_y(15) = v_{0y} - g\cdot 15 = 100\sqrt{3} - 9{,}8\cdot 15.
Calcule numericamente:
100\sqrt{3}\approx 173{,}205\\ \mathrm{m/s},\qquad 9{,}8\cdot 15 = 147.
v_y(15)\approx 173{,}205 - 147 = 26{,}205\\ \mathrm{m/s}.
Agora o módulo da velocidade em t=15\\ \mathrm{s}:
v(15)=\sqrt{v_x(15)^2+v_y(15)^2}=\sqrt{100^2+26{,}205^2}.
Calcule:
100^2 = 10\,000,\qquad 26{,}205^2\approx 686{,}66,
v(15)\approx \sqrt{10\,000 + 686{,}66} = \sqrt{10\,686{,}66}\approx 103{,}36\\ \mathrm{m/s}.
Direção da velocidade (ângulo acima da horizontal) em t=15\\ \mathrm{s}:
\varphi(15)=\arctan\!\bigg(\frac{v_y(15)}{v_x(15)}\bigg)=\arctan\!\bigg(\frac{26{,}205}{100}\bigg).
\varphi(15)\approx \arctan(0{,}26205)\approx 14{,}7^\circ.

Passo 5

Posição do projétil no instante t=15\\ \mathrm{s}:
Componente horizontal:
x(15)=v_{0x}\cdot 15 = 100\cdot 15 = 1500\\ \mathrm{m}.
Componente vertical:
y(15)=v_{0y}\cdot 15 - \tfrac{1}{2}g\cdot 15^2 = 100\sqrt{3}\cdot 15 - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot 225.
Calcule passo a passo:
100\sqrt{3}\cdot 15 = 1500\sqrt{3}\approx 2598{,}076\\ \mathrm{m},
\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot 225 = 4{,}9\cdot 225 = 1102{,}5\\ \mathrm{m}.
y(15)\approx 2598{,}076 - 1102{,}5 = 1495{,}576\\ \mathrm{m}.
Portanto, a posição é aproximadamente (x,y)=(1500\\ \mathrm{m},\\\ 1495{,}576\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Agora a parte (b): tempo de voo e alcance. Para achar o tempo total até o projétil voltar ao solo, usamos a condição y(T)=0 (excluindo T=0). A solução direta, quando o projétil é lançado e retorna ao mesmo nível do lançamento, é:
T = \frac{2 v_{0y}}{g}.
Explicando por que: a velocidade vertical sobe até zero no ponto mais alto e depois desce; o tempo de subida é v_{0y}/g, então o tempo total de subida + descida é o dobro.
Substituindo v_{0y}=100\sqrt{3}:
T = \frac{2\cdot 100\sqrt{3}}{9{,}8} = \frac{200\sqrt{3}}{9{,}8}\\ \mathrm{s}.
Calcule numericamente:
200\sqrt{3}\approx 346{,}410,\qquad T\approx \frac{346{,}410}{9{,}8}\approx 35{,}346\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox. }35{,}35\\ \mathrm{s}).

Passo 7

Alcance horizontal (distância total percorrida até voltar ao solo):
  • Pode-se usar a fórmula direta R = v_{0x}\,T,ou a fórmula conhecida R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Usando v_{0x}=100\\ \mathrm{m/s} e T\approx 35{,}346\\ \mathrm{s}:
R = 100\cdot 35{,}346 \approx 3534{,}6\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida usando a outra fórmula: \sin(2\theta)=\sin(120^\circ)=\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então
R = \frac{200^2\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{9{,}8} = \frac{20{,}000\sqrt{3}}{9{,}8}\approx 3534{,}6\\ \mathrm{m},
mesmo resultado numérico.

Passo 8

Arredondamentos finais e interpretação para a prova:
  • Nas contas apresentadas usei aproximações decimais para \sqrt{3}\approx 1{,}73205 e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Em prova, deixe as formas exatas (com \sqrt{3}) quando possível e só arredonde no final.
  • Valores principais obtidos (já calculados nos passos anteriores) serão colocados de forma direta na resposta final abaixo.

Resposta

(a) Velocidade em t=15\\ \mathrm{s}: componentes \,v_x(15)=100\\ \mathrm{m/s},\\ v_y(15)\approx 26{,}205\\ \mathrm{m/s}; módulo \,v(15)\approx 103{,}36\\ \mathrm{m/s} e direção \,\varphi(15)\approx 14{,}7^\circ. Posição em t=15\\ \mathrm{s}: (x,y)\approx (1500\\ \mathrm{m},\\\ 1495{,}576\\ \mathrm{m}).
(b) Tempo de voo total \,T=\dfrac{200\sqrt{3}}{9{,}8}\approx 35{,}35\\ \mathrm{s}. Alcance \,R\approx 3534{,}6\\ \mathrm{m}.

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