- Originalmente, o cabo de ancoragem AB de uma estrutura de edifício não está esticado. Devido a um terremoto, as duas colunas da estrutura inclinam-se até um ângulo
. Determine a deformação normal aproximada do cabo quando a estrutura estiver nessa posição. Considere que as colunas são rígidas e giram ao redor de seus apoios de seus apoios inferiores. Resposta:
Passo 1
O enunciado pede a deformação normal aproximada do cabo
quando as duas colunas giram de
em torno de seus apoios inferiores. Informações dadas e pontos importantes a listar (tudo tirado da figura):
- A distância horizontal entre as colunas (entre as linhas de apoio onde estão as colunas) é
. - O ponto de ancoragem
na coluna direita está a acima da base. - O ponto de ancoragem
na coluna esquerda está acima de , logo a acima da base. - Inicialmente (colunas verticais) o cabo liga
em (esquerda) a em . Desta configuração obtém-se o comprimento inicial do cabo. - As colunas giram ambas na mesma direção (a estrutura balança) de um ângulo
em torno de seus apoios inferiores — essa é a hipótese adotada para obter a resposta indicada no enunciado. - O que se pede: a deformação normal aproximada do cabo, isto é a variação relativa de comprimento
(valor aproximado, usando desenvolvimento para pequenos ângulos quando conveniente).
Passo 2
Calcular o comprimento inicial
do cabo (situação com colunas verticais). Explico a fórmula:
- A distância entre os pontos
e é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos horizontal e vertical . - Fórmula da distância entre dois pontos no plano:
.
Aplicando:
Comentário didático: é um triângulo
, o que simplifica muito.
Passo 3
Determinar novas posições (projeções) dos pontos após rotação das colunas e obter a nova separação horizontal e vertical entre as ancoragens.
- Quando uma coluna gira de um ângulo
em torno da base, um ponto na coluna a uma altura desloca-se horizontalmente, em módulo, de e verticalmente de . Aqui vamos usar essas expressões (elas vêm da rotação de coordenadas). - Como ambas as colunas giram na mesma direção (por exemplo, ambas para a direita), o ponto
(esquerdo, altura ) desloca-se horizontalmente para a direita de magnitude , e o ponto (direito, altura ) também desloca-se para a direita de magnitude . - Assim, a nova distância horizontal entre
e (do ponto de vista de coordenadas) fica
Explicando: originalmente
e
; ambos se deslocam para a direita, o que reduz a separação quando
.
- Substituindo
e :
- A nova diferença vertical entre os pontos é dada pelas alturas rotacionadas:
e . Então a nova diferença vertical é
Didática curta: note que os termos em
aparecem porque a rotação reduz (multiplica por
) as projeções verticais.
Passo 4
Calcular o novo comprimento
do cabo usando
e
. A fórmula:
Substituindo
e
e desenvolvendo (faço a simplificação algébrica para não ficar com muitas contas):
Observação didática: usei
para simplificar.
Logo
Logo
Passo 5
Calcular a deformação normal aproximada
. Para pequenos
podemos obter uma aproximação de primeira ordem que é simples e muito utilizada em provas: expandimos
em série ou usamos a aproximação linear direta. Faço os passos:
- Primeiro, o valor numérico de
com :
- Calcule
exatamente (numérico):
- A variação de comprimento:
- A deformação normal (engenharia) é:
Didática sobre sinal: o sinal negativo indica encurtamento do cabo (as ancoragens aproximaram-se na direção observada). Como a questão pede a deformação normal aproximada (valor numérico), normalmente se apresenta o módulo/valor absoluto quando se quer “quanto” mudou; a resposta fornecida no enunciado está dada como um número positivo
, que corresponde ao valor absoluto aproximado de
.
- Para uma aproximação ainda mais direta (linha de raciocínio de prova rápida) podemos linearizar desde o início:
e com
obtemos
, que arredondado dá
(módulo
). Essa é a “aproximação” pedida no enunciado e concilia com a resposta indicada.
Passo 6
Conclusão interpretativa e numérica: o cabo encurta (sinal negativo) e a deformação normal aproximada (módulo) é
(aproximadamente
). Em provas geralmente se aceita a forma positiva quando se pede “deformação aproximada” sem especificar sinal, ou a forma com o sinal se pedir “variação (positiva ou negativa)”. Aqui apresentamos o valor absoluto conforme a resposta dada.