Uma lâmina de alumínio de 5 mil de espessura ( 1 \mathrm{mil}=0.001 polegada =25.4 \mu \mathrm{~m} ) é utilizada para a blindagem eletromagnética de um dispositivo. Sabendo que a permissividade e permeabilidade relativa do alumínio e a condutividade são \varepsilon_{r}=\mu_{r}=1 e \sigma=38 \frac{M S}{m}, avalie a eficiência da blindagem para um frequência de 100 MHz , através do cálculo da atenuação que a lâmina impõe a onda EM, em dB. Avalie também como se comporta a eficiência da blindagem com o aumento da frequência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a atenuação (eficiência da blindagem) que a lâmina de alumínio impõe a uma onda EM de 100\\ \mathrm{MHz}, expressa em dB.
  • Explicar como a eficiência da blindagem se comporta quando a frequência aumenta.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Espessura da lâmina: 5\\ \text{mil}. Como 1\\ \text{mil}=0,001\\ \text{inch}=25{,}4\\ \mu\mathrm{m}, então a espessura em metros é
t = 5\times25{,}4\\ \mu\mathrm{m} = 127\\ \mu\mathrm{m} = 127\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Permissividade relativa: \varepsilon_r=1.
  • Permeabilidade relativa: \mu_r=1.
  • Condutividade: \sigma=38\\ \mathrm{MS/m}=38\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}.
  • Frequência: f=100\\ \mathrm{MHz}=100\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
O que vamos calcular:
  • A profundidade de pele \delta do alumínio à frequência dada.
  • A perda por absorção A (em dB) dentro da lâmina.
  • A perda por reflexão R (em dB) na superfície.
  • A atenuação total aproximada SE\approx R + A (quando a perda por múltiplas reflexões for desprezível).

Passo 2

Conceito e fórmula da profundidade de pele (skin depth). Explicando de leve: para condutores a corrente (e os campos EM) penetram uma pequena profundidade chamada \delta; dentro do metal a amplitude do campo decai em \exp(-z/\delta). A fórmula (para bom condutor, \mu=\mu_0\mu_r) é
\delta = \sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}},
onde \omega=2\pi f é a frequência angular, \mu=\mu_0\mu_r e \sigma é a condutividade. Aqui \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \mu_r=1.
Vamos calcular passo a passo:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 100\times10^{6} \approx 6{,}2831853\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
\mu = \mu_0\mu_r = 4\pi\times10^{-7}\cdot 1 \approx 1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
Agora
\delta = \sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}} = \sqrt{\dfrac{2}{(6{,}2831853\times10^{8})(1{,}25663706\times10^{-6})(38\times10^{6})}}.
Calculando numericamente (mostrando ordem de grandeza):
\delta \approx 8{,}16\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 8{,}16\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação prática: a pele do alumínio a 100\\ \mathrm{MHz} é cerca de 8{,}2\\ \mu\mathrm{m}, muito menor que a espessura t=127\\ \mu\mathrm{m}; logo a lâmina é muitas vezes mais espessa que a profundidade de penetração.

Passo 3

Perda por absorção dentro do material. Explicando: o campo elétrico decai com E(z)\propto e^{-z/\delta}. A potência (proporcional a E^2) decai como e^{-2z/\delta}. A perda por absorção em dB ao atravessar espessura t é:
A = 10\log_{10}\!\left(e^{2t/\delta}\right) = \left(20\log_{10}e\right)\frac{t}{\delta} \approx 8{,}686\\ \frac{t}{\delta}\\ \text{dB}.
Substituindo os valores:
\frac{t}{\delta}=\frac{127\times10^{-6}}{8{,}16\times10^{-6}}\approx 15{,}56,
A \approx 8{,}686\times15{,}56 \approx 135{,}2\\ \mathrm{dB}.
Comentário intuitivo: isso quer dizer que só pela absorção interna a lâmina reduz a potência transmitida por cerca de 135\\ \mathrm{dB} — um valor enorme.

Passo 4

Perda por reflexão na superfície. Explicando o conceito: parte da onda é refletida na interface ar–metal antes mesmo de entrar; para um condutor bom a impedância própria do metal \eta_{\mathrm{metal}} é muito pequena comparada à impedância do ar \eta_0\approx 377\\ \Omega. A impedância intrínseca aproximada do metal (módulo) é
|\eta_{\mathrm{metal}}| \approx \sqrt{\dfrac{\omega\mu}{\sigma}}.
Para bom condutor, uma expressão prática para a perda por reflexão (em dB) usada em teoria de blindagem é
R \approx 20\log_{10}\!\left(\dfrac{\eta_0}{4\,|\eta_{\mathrm{metal}}|}\right).
Vamos calcular |\eta_{\mathrm{metal}}| e R.
Cálculo de |\eta_{\mathrm{metal}}|:
|\eta_{\mathrm{metal}}| = \sqrt{\dfrac{\omega\mu}{\sigma}} = \sqrt{\dfrac{6{,}2831853\times10^{8}\cdot 1{,}25663706\times10^{-6}}{38\times10^{6}}} \approx 4{,}56\times10^{-3}\\ \Omega.
Agora
R \approx 20\log_{10}\!\left(\dfrac{377}{4\cdot 4{,}56\times10^{-3}}\right) =20\log_{10}(2{,}0673\times10^{4}) \approx 86{,}31\\ \mathrm{dB}.
Interpretação: a superfície já faz com que uma parcela muito grande da onda seja refletida; essa componente vale cerca de 86\\ \mathrm{dB} de “blindagem” por reflexão.

Passo 5

Atenuação total aproximada. Regra prática: quando a perda por absorção A é maior que uns 10\\ \mathrm{dB}, as múltiplas reflexões internas podem ser desprezadas e a atenuação total aproximada é
SE \approx R + A.
Neste caso A\approx135{,}2\\ \mathrm{dB} e R\approx86{,}31\\ \mathrm{dB}, logo
SE \approx 86{,}31 + 135{,}2 \approx 221{,}5\\ \mathrm{dB}.
Comentário prático: 221{,}5\\ \mathrm{dB} é extraordinariamente alto — na prática significa que praticamente nada passa pela lâmina nessa frequência.

Passo 6

Como a eficiência de blindagem varia com a frequência? Explicando as tendências matemáticas e físicas, sem fórmulas obscuras:
  • A profundidade de pele segue \delta\propto 1/\sqrt{f}. Ou seja, quando a frequência aumenta, \delta diminui.
  • A perda por absorção depende de t/\delta, portanto A\propto t/\delta \propto \sqrt{f}. Em palavras: a perda por absorção cresce aproximadamente como a raiz quadrada da frequência (cresce rapidamente).
  • A perda por reflexão depende de |\eta_{\mathrm{metal}}|\propto\sqrt{f}, e a expressão de R leva a uma dependência aproximadamente R\propto -10\log_{10}f (uma diminuição lenta com frequência).
  • Conclusão prática: ao aumentar a frequência a perda por absorção aumenta fortemente e domina, de modo que a atenuação total tende a aumentar com a frequência (mesmo que a contribuição por reflexão diminua um pouco). Ou seja: blindagem por chapa metálica fica, em geral, melhor quando a frequência sobe (até que outros efeitos geométricos e ressonâncias entrem em jogo).

Passo 7

Resumo curto e incentivo: a lâmina de 5\\ \text{mil} (127 \\ \mum) de alumínio dá uma blindagem gigantesca a 100\\ \mathrm{MHz}. Relaxa: para essa frequência e esse metal a proteção é mais do que suficiente — e, se aumentar a frequência, a blindagem tende a melhorar ainda mais por absorção.

Resposta

SE \approx 221{,}5\\ \mathrm{dB}
A eficiência aumenta com a frequência: a perda por absorção cresce aproximadamente como \sqrt{f}, enquanto a perda por reflexão decresce lentamente como -10\log_{10}f; portanto, em geral a atenuação total cresce com f.

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