Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\biggl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\biggr)
e decidir se ela converge. Para testar convergência de séries de termos a_{n}, primeiro usamos o teste da condição necessária: se a série converge, então deve valer
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 2

Vamos escrever os quatro primeiros termos a_{n}=\ln\bigl(\tfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\bigr):
a_{1}=\ln\!\biggl(\frac{1^{2}+1}{2\cdot1^{2}+1}\biggr) =\ln\!\biggl(\frac{2}{3}\biggr),
a_{2}=\ln\!\biggl(\frac{2^{2}+1}{2\cdot2^{2}+1}\biggr) =\ln\!\biggl(\frac{5}{9}\biggr),
a_{3}=\ln\!\biggl(\frac{3^{2}+1}{2\cdot3^{2}+1}\biggr) =\ln\!\biggl(\frac{10}{19}\biggr),
a_{4}=\ln\!\biggl(\frac{4^{2}+1}{2\cdot4^{2}+1}\biggr) =\ln\!\biggl(\frac{17}{33}\biggr).

Passo 3

Agora aplicamos o teste da condição necessária de convergência. Calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\ln\!\biggl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\biggr).
Dentro do logaritmo,
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} =\frac{1+\tfrac{1}{n^{2}}}{2+\tfrac{1}{n^{2}}} \;\xrightarrow{n\to\infty}\; \frac{1}{2},
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\lim_{n\to\infty}a_{n} =\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) =-\ln(2)\neq 0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Portanto, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral não tende a zero.

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