Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n}}-e^{1} n+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(e^{1/n}-e\,n+1\bigr),
listar, quando necessário, os quatro primeiros termos e, caso a série converja, calcular sua soma; caso contrário, explicar o motivo da divergência. O conteúdo principal aqui é o teste da condição necessária de convergência de séries, que exige que o termo geral tenda a zero.

Passo 2

Vamos escrever os quatro primeiros termos a_n = e^{1/n}-e\,n+1:
a_{1} = e^{1/1}-e\cdot1+1 = e - e + 1 = 1,
a_{2} = e^{1/2}-2e+1,
a_{3} = e^{1/3}-3e+1,
a_{4} = e^{1/4}-4e+1.

Passo 3

Para verificar a condição necessária, analisamos o limite de a_n quando n\to\infty. Sabemos que
\lim_{n\to\infty}e^{1/n} = e^0 = 1
e
\lim_{n\to\infty}(e\,n) = +\infty.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\bigl(e^{1/n}-e\,n+1\bigr) = 1 - (+\infty) +1 = -\infty,
em particular \lim_{n\to\infty}a_n\neq0.

Passo 4

Pela condição necessária de convergência, se a série \sum a_n fosse convergente, teríamos a_n\to0. Como na verdade \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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