Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4^{n}} \frac{1}{5^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4^{n}}\frac{1}{5^{n}}\right)
que é um caso de série geométrica. Vamos precisar (a) escrever os quatro primeiros termos, (b) verificar convergência usando o teste da série geométrica e (c) calcular a soma se convergir.

Passo 2

Observe que
\frac{1}{4^{n}}\frac{1}{5^{n}} =\frac{1}{(4\cdot5)^{n}} =\Bigl(\frac{1}{20}\Bigr)^{n}.
Isto mostra que a série é geométrica com primeiro termo
a=\Bigl(\tfrac{1}{20}\Bigr)^{1}=\tfrac{1}{20}
e razão
r=\tfrac{1}{20}.
Os quatro primeiros termos são
t_{1}=\tfrac{1}{20},\quad t_{2}=\tfrac{1}{20^{2}}=\tfrac{1}{400},\quad t_{3}=\tfrac{1}{20^{3}}=\tfrac{1}{8000},\quad t_{4}=\tfrac{1}{20^{4}}=\tfrac{1}{160000}.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum_{n=1}^\infty a\,r^{\,n-1} sabemos que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui temos \lvert r\rvert=\tfrac{1}{20}<1, logo a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
S=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso a=\tfrac{1}{20} e r=\tfrac{1}{20}, portanto
S =\frac{\tfrac{1}{20}}{1-\tfrac{1}{20}} =\frac{\tfrac{1}{20}}{\tfrac{19}{20}} =\frac{1}{19}.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
\tfrac{1}{20},\,\tfrac{1}{400},\,\tfrac{1}{8000},\,\tfrac{1}{160000}.
A série é convergente porque \lvert r\rvert=\tfrac{1}{20}<1, e sua soma é
\frac{1}{19}.

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