Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série numérica
Veremos se essa série converge ou diverge e, em caso de convergência, encontraremos sua soma. Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais que gera um efeito telescópico.
Passo 2
Os quatro primeiros termos da série são, computando para
:
Passo 3
Para ver o efeito telescópico, decomponho o termo geral em frações parciais:
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes resulta em
e
. Logo,
Passo 4
Definimos a soma parcial até
:
Escrevendo alguns termos vemos o cancelamento:
Quase todos os termos intermediários se anulam, sobrando
Passo 5
Para verificar a convergência, observamos o limite de
quando
:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.