Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série numérica
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}
Veremos se essa série converge ou diverge e, em caso de convergência, encontraremos sua soma. Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais que gera um efeito telescópico.

Passo 2

Os quatro primeiros termos da série são, computando para n=2,3,4,5:
\frac{1}{2^{2}-1}=\frac{1}{3},\quad \frac{1}{3^{2}-1}=\frac{1}{8},\quad \frac{1}{4^{2}-1}=\frac{1}{15},\quad \frac{1}{5^{2}-1}=\frac{1}{24}.

Passo 3

Para ver o efeito telescópico, decomponho o termo geral em frações parciais:
\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{(n-1)(n+1)}
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1) obtemos
1 = A(n+1) + B(n-1).
Igualando coeficientes resulta em A=\tfrac12 e B=-\tfrac12. Logo,
\frac{1}{n^{2}-1} =\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\biggr).

Passo 4

Definimos a soma parcial até N:
S_{N} = \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^{2}-1} = \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Escrevendo alguns termos vemos o cancelamento:
S_{N} = \frac{1}{2}\Bigl[ (1-\tfrac13) + (\tfrac12-\tfrac14) + (\tfrac13-\tfrac15) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{N-1}-\tfrac{1}{N+1}\bigr) \Bigr].
Quase todos os termos intermediários se anulam, sobrando
S_{N} = \frac{1}{2}\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{N} - \tfrac{1}{N+1}\Bigr).

Passo 5

Para verificar a convergência, observamos o limite de S_{N} quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \frac{1}{2}\Bigl(1 + \tfrac12 - 0 - 0\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4}.
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{3}{4}.

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