Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\operatorname{arccos} \left(\frac{1}{n+1}\right)-\operatorname{arccos} \left(\frac{1}{n+2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos da série telescópica
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{n+2}\bigr)\Bigr]
e decidir se ela converge. Se convergir, calcular sua soma. Vamos usar a propriedade de cancelamento sucessivo (telescópio).

Passo 2

Os quatro primeiros termos são, para n=1,2,3,4:
T_1=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac12\bigr)-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac13\bigr),
T_2=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac13\bigr)-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac14\bigr),
T_3=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac14\bigr)-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac15\bigr),
T_4=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac15\bigr)-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac16\bigr).

Passo 3

O N-ésimo somatório parcial é
S_N = \sum_{n=1}^{N}\Bigl[\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{n+2}\bigr)\Bigr] =\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac12\bigr)-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{N+2}\bigr),
pois todos os termos intermediários cancelam.

Passo 4

Como \displaystyle\lim_{N\to\infty}\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{N+2}\bigr)=\operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2}, segue
\lim_{N\to\infty}S_N =\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac12\bigr)-\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2} =-\tfrac{\pi}{6}.
Logo a série é convergente pelo telescópio e sua soma é -\tfrac{\pi}{6}.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
\operatorname{arccos}(\tfrac12)-\operatorname{arccos}(\tfrac13),
\operatorname{arccos}(\tfrac13)-\operatorname{arccos}(\tfrac14),
\operatorname{arccos}(\tfrac14)-\operatorname{arccos}(\tfrac15),
\operatorname{arccos}(\tfrac15)-\operatorname{arccos}(\tfrac16).
A série converge e sua soma é -\tfrac{\pi}{6}.

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