É necessário fornecer uma quantidade de energia E para excitar um elétron em um poço de potencial infinito do nível fundamental até um nível excitado n. Mostre que a largura do poço pode ser escrita como:
L=h \sqrt{\frac{n^{2}-1}{8 m E}}

Passo 1

O enunciado pede a largura L de um poço infinito de potencial, sabendo que para excitar um elétron do nível fundamental n=1 ao nível n é preciso fornecer uma energia E. O conteúdo aqui é a quantização de energia num poço infinito em uma dimensão, cuja fórmula de autovalores vamos usar.

Passo 2

Em um poço infinito de potencial de largura L, os níveis de energia do elétron são
E_k = \frac{h^2 k^2}{8\,m\,L^2},
onde k=1,2,3,\dots, h é a constante de Planck e m a massa do elétron.

Passo 3

A energia necessária para ir do nível 1 ao nível n é a diferença
E = E_n - E_1 = \frac{h^2 n^2}{8\,m\,L^2} \;-\;\frac{h^2\cdot1^2}{8\,m\,L^2} = \frac{h^2}{8\,m\,L^2}\bigl(n^2 - 1\bigr).

Passo 4

Agora basta isolar L. Da última linha temos
E = \frac{h^2}{8\,m\,L^2}\,(n^2 - 1) \quad\Longrightarrow\quad L^2 = \frac{h^2\,(n^2 - 1)}{8\,m\,E} \quad\Longrightarrow\quad L = h\sqrt{\frac{n^2 - 1}{8\,m\,E}}.

Resposta

L = h \sqrt{\frac{n^{2}-1}{8\,m\,E}}

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