É necessário um fóton com energia mínima de 4,41 \times 10^{-19} \mathrm{~J} para emitir elétrons do metal sódio.
a- Qual a frequência mínima de luz necessária para emitir elétrons do sódio pelo efeito fotoelétrico?
6,7 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}
b- Qual o comprimento de onda dessa luz?
450 nm
c- Se o sódio é irradiado com luz de 439 nm , qual é a possível energia cinética máxima dos elétrons emitidos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Energia mínima (função trabalho) necessária para arrancar elétrons do sódio: \varphi = 4{,}41\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Perguntas:
    a) Qual a frequência mínima da luz necessária para emitir elétrons?
    b) Qual o comprimento de onda correspondente a essa frequência?
    c) Se o sódio for irradiado com luz de 439\\ \mathrm{nm}, qual a energia cinética máxima dos elétrons emitidos?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Energia de um fóton: E = h\,\nu
    • \;E,: energia do fóton em joules ( \mathrm{J}).
    • \;h,: constante de Planck, \;h = 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    • \;\nu,: frequência da luz em hertz ( \mathrm{Hz}).
  • Relação entre velocidade da luz, frequência e comprimento de onda: c = \lambda\,\nu
    • \;c,: velocidade da luz no vácuo, \;c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
    • \;\lambda,: comprimento de onda em metros ( \mathrm{m}).
  • Condição do efeito fotoelétrico: um fóton emite um elétron se sua energia for pelo menos igual à função trabalho \varphi. A frequência mínima (limiar) \nu_0 satisfaz h\,\nu_0 = \varphi.
  • Energia cinética máxima dos elétrons emitidos (quando h\nu>\varphi): K_{\text{max}} = h\,\nu - \varphi = E_{\text{fóton}} - \varphi.ó
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com atenção às unidades.

Passo 3

Calcular a frequência mínima \nu_0. A fórmula é \nu_0=\dfrac{\varphi}{h}. Substituindo:
\nu_0 = \frac{4{,}41\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}}.
Fazendo a divisão:
\nu_0 \approx 6{,}655\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando com duas casas significativas compatíveis com os dados:
\nu_0 \approx 6{,}7\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda correspondente à frequência limiar. Usamos \lambda_0 = \dfrac{c}{\nu_0}. Substituindo c e \nu_0:
\lambda_0 = \frac{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}}{6{,}655\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}}.
Fazendo a divisão:
\lambda_0 \approx 4{,}508\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda_0 \approx 450{,}8\\ \mathrm{nm},
que, com o número de algarismos do dado, corresponde a aproximadamente 450\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Agora parte (c): primeiro calculamos a energia do fóton de comprimento de onda \lambda = 439\\ \mathrm{nm}. Converto \lambda para metros: \lambda = 4{,}39\times10^{-7}\\ \mathrm{m}. Uso E_{ph} = \dfrac{h c}{\lambda}:
E_{ph} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}\times 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}}{4{,}39\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}.
Calculando:
E_{ph} \approx 4{,}53\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a energia cinética máxima dos elétrons: K_{\text{max}} = E_{ph} - \varphi. Substituindo os valores:
K_{\text{max}} = 4{,}53\times10^{-19}\\ \mathrm{J} - 4{,}41\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1{,}19\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Para intuir melhor, converto para elétron-volts usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
K_{\text{max}} \approx \frac{1{,}19\times10^{-20}\\ \mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 7{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{eV}.
Interpretação curta: como \lambda=439\\ \mathrm{nm} é menor que o limiar 450\\ \mathrm{nm}, cada fóton tem energia um pouco maior que a função trabalho e sobra uma pequena energia cinética para o elétron.

Resposta

a) 6{,}7\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
b) 450\\ \mathrm{nm}
c) 1{,}19\times10^{-20}\\ \mathrm{J} = 7{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{eV}

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