É necessário resfriar um componente eletrônico utilizando um dispositivo retangular de 14 mm por 14 mm constituído por pinos de seção circular com diámetro igual a 1,0 \mathrm{~mm} e comprimento igual a 6 mm . A distância entre centros dos pinos é de 2,0 \mathrm{~mm} tanto no sentido da largura quanto no de comprimento do dissipador, de forma que no dissipador observam-se 36 pinos. Em condição normal de operação, a temperatura da base do dissipador é igual a 50^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura ambiente é igual a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que o coeficiente convectivo entre a superfície do dissipador e o meio ambiente é igual a 12 \mathrm{~W} /(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}) e que o dissipador foi fabricado com uma liga de alumínio que apresenta condutividade térmica igual a 220 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) e que as aletas podem ser simuladas como se tivessem suas extremidades isoladas. Com os dados fornecidos, determine:
  • A taxa de calor observada entre uma aleta e o meio ambiente
  • A taxa de calor observada entre o dissipador (total aletas+base) e o meio ambiente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A taxa de calor entre uma aleta (um pino) e o meio ambiente.
  2. A taxa de calor entre o dissipador inteiro (aletas + base) e o meio ambiente.
Dados fornecidos (todos colocados explicitamente):
\begin{aligned} &\text{dimensões do dissipador: }14\\ \text{mm}\times14\\ \text{mm} \Rightarrow A_{\text{base, total}}=0{,}014\times0{,}014=0{,}000196\\ \text{m}^2,\\\ &\text{diâmetro do pino: }d=1{,}0\\ \text{mm}=0{,}001\\ \text{m},\\\ &\text{comprimento do pino (altura): }L=6{,}0\\ \text{mm}=0{,}006\\ \text{m},\\\ &\text{distância entre centros dos pinos: }2{,}0\\ \text{mm} \\ (\text{em ambas direções}),\\\ &\text{número de pinos: }N=36\\ (\text{dado no enunciado}),\\\ &\text{temperatura da base: }T_b=50^\circ\text{C},\\\ &\text{temperatura ambiente: }T_\infty=20^\circ\text{C},\\\ &\text{diferença de temperatura: }\Delta T=T_b-T_\infty=30\\ \text{K},\\\ &\text{coeficiente convectivo: }h=12\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\\\ &\text{condutividade térmica do alumínio: }k=220\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. \end{aligned}õââçõúçéí
Vou modelar cada pino como uma aleta cilíndrica reta, com a extremidade isolada (conforme enunciado). A resolução começa agora.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (explicação didática):
  • Para uma aleta de seção constante que troca calor por convecção ao longo da sua lateral e tem a ponta termicamente isolada, a solução da equação de condução + convecção dá a taxa de calor retirada pela aleta:
q_f = \sqrt{h P k A_c}\,(T_b-T_\infty)\,\operatorname{tanh}(mL),
onde
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Explicando cada termo:
  • q_f é a potência térmica (W) retirada por uma aleta.
  • h é o coeficiente convectivo \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • P é o perímetro da seção transversal da aleta (m). Para seção circular P=\pi d.
  • A_c é a área da seção transversal (m^2). Para círculo A_c=\pi d^2/4.
  • k é a condutividade térmica do material \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • L é o comprimento da aleta (m).
  • \operatorname{tanh}(mL) aparece porque a ponta é isolada; se a ponta fosse infinitamente longa esse fator tenderia a 1, mas para pequenas aletas o fator é aproximadamente mL (quando mL\ll1).
Breve intuição: m mede a “competição” entre convecção (que tira calor na superfície) e condução (que fornece calor do interior da aleta). Quanto maior m e L, maior a perda por convecção relativa à capacidade de conduzir calor ao longo da aleta.

Passo 3

Aplicando à aleta cilíndrica:
  • Perímetro da seção:
P=\pi d.
  • Área da seção:
A_c=\frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo em m:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}} =\sqrt{\frac{h\,(\pi d)}{k\,(\pi d^2/4)}} =\sqrt{\frac{4h}{k\,d}}.
Essa simplificação é útil: para pinos circulares m depende apenas de h, k e d.

Passo 4

Cálculo de m, mL e \operatorname{tanh}(mL) numericamente:
m=\sqrt{\frac{4h}{k d}} =\sqrt{\frac{4\cdot 12}{220\cdot 0{,}001}} =\sqrt{\frac{48}{0{,}22}} =\sqrt{218{,}166\ldots} \approx 14{,}7779\\ \text{m}^{-1}.
mL=14{,}7779\cdot 0{,}006 \approx 0{,}088668.
Para esse valor pequeno usamos a função hiperbólica:
\operatorname{tanh}(0{,}088668)\approx 0{,}088436.
(Obs.: para x\ll1, \operatorname{tanh} x\approx x - x^3/3; aqui mL é pequeno, então \operatorname{tanh}(mL) fica próximo de mL.)

Passo 5

Cálculo do fator \sqrt{h P k A_c}:
Primeiro produto geral (mostrando contas):
P=\pi d=\pi\cdot 0{,}001=0{,}003141593\\ \text{m},
A_c=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0{,}001)^2}{4}=7{,}8539816\times10^{-7}\\ \text{m}^2.
Agora
hPkA_c = 12\cdot (0{,}003141593)\cdot 220\cdot (7{,}8539816\times10^{-7}) \approx 6{,}513436\times10^{-6}.
Logo
\sqrt{hPkA_c}\approx 0{,}00255224\\ \mathrm{W/K}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da aleta:
q_f = \sqrt{hPkA_c}\,(T_b-T_\infty)\,\operatorname{tanh}(mL).
Substituindo os números:
q_f \approx 0{,}00255224 \times 30 \times 0{,}088436 \approx 0{,}0067729\\ \text{W}.
Ou seja, cada aleta (cada pino) retira aproximadamente 6{,}77\times10^{-3}\\ \text{W} (6,77 mW).

Passo 7

Taxa de calor total das N=36 aletas:
Q_{\text{aletas}}=N\,q_f=36\times 0{,}0067729\approx 0{,}24386\\ \text{W}.

Passo 8

Agora a contribuição da base (área do topo do dissipador que não é ocupada pelos pinos):
  • Área total da base:
A_{\text{base,total}}=0{,}014\times 0{,}014=0{,}000196\\ \text{m}^2.
  • Área projetada ocupada pelos 36 pinos (somados):
A_{\text{pinos,proj}}=N\cdot A_c=36\times 7{,}8539816\times10^{-7} \approx 2{,}826\\ \times10^{-5}\\ \text{m}^2.
  • Área exposta da base (topo) que efetivamente troca calor por convecção:
A_{\text{base,exposta}}=A_{\text{base,total}}-A_{\text{pinos,proj}} \approx 0{,}000196 - 2{,}826\times10^{-5} \approx 0{,}00016774\\ \text{m}^2.
Supondo que somente essa face superior do corpo (fora os pinos) perde calor por convecção, a potência da base é:
Q_{\text{base}}=h\,A_{\text{base,exposta}}\,\Delta T =12\times 0{,}00016774\times 30\approx 0{,}060386\\ \text{W}.
(Observação: se a face inferior do dissipador também estivesse exposta ao ar ou livre para convecção, deveríamos somar essa área; aqui o enunciado não dá informação, então considerei apenas a face superior entre os pinos.)

Passo 9

Potência total do dissipador (aletas + base):
Q_{\text{total}}=Q_{\text{aletas}}+Q_{\text{base}} \approx 0{,}24386 + 0{,}060386 \approx 0{,}30425\\ \text{W}.

Resposta

A taxa de calor entre uma aleta e o meio ambiente: 0{,}00677\\ \text{W}.\nA taxa de calor entre o dissipador (total aletas + base) e o meio ambiente: 0{,}304\\ \text{W}.

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