É necessário resfriar um componente eletrônico utilizando um dispositivo retangular de 14 mm por 14 mm constituído por pinos de seção circular com diámetro igual a
e comprimento igual a 6 mm . A distância entre centros dos pinos é de
tanto no sentido da largura quanto no de comprimento do dissipador, de forma que no dissipador observam-se 36 pinos. Em condição normal de operação, a temperatura da base do dissipador é igual a
, enquanto a temperatura ambiente é igual a
. Sabe-se que o coeficiente convectivo entre a superfície do dissipador e o meio ambiente é igual a
e que o dissipador foi fabricado com uma liga de alumínio que apresenta condutividade térmica igual a
e que as aletas podem ser simuladas como se tivessem suas extremidades isoladas. Com os dados fornecidos, determine:
- A taxa de calor observada entre uma aleta e o meio ambiente
- A taxa de calor observada entre o dissipador (total aletas+base) e o meio ambiente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A taxa de calor entre uma aleta (um pino) e o meio ambiente.
- A taxa de calor entre o dissipador inteiro (aletas + base) e o meio ambiente.
Dados fornecidos (todos colocados explicitamente):
Vou modelar cada pino como uma aleta cilíndrica reta, com a extremidade isolada (conforme enunciado). A resolução começa agora.
Passo 2
Conceito e fórmula usada (explicação didática):
- Para uma aleta de seção constante que troca calor por convecção ao longo da sua lateral e tem a ponta termicamente isolada, a solução da equação de condução + convecção dá a taxa de calor retirada pela aleta:
onde
Explicando cada termo:
-
é a potência térmica (W) retirada por uma aleta. -
é o coeficiente convectivo . -
é o perímetro da seção transversal da aleta (m). Para seção circular . -
é a área da seção transversal (m^2). Para círculo . -
é a condutividade térmica do material . -
é o comprimento da aleta (m). -
aparece porque a ponta é isolada; se a ponta fosse infinitamente longa esse fator tenderia a 1, mas para pequenas aletas o fator é aproximadamente (quando ).
Breve intuição:
mede a “competição” entre convecção (que tira calor na superfície) e condução (que fornece calor do interior da aleta). Quanto maior
e
, maior a perda por convecção relativa à capacidade de conduzir calor ao longo da aleta.
Passo 3
Aplicando à aleta cilíndrica:
- Perímetro da seção:
- Área da seção:
Substituindo em
:
Essa simplificação é útil: para pinos circulares
depende apenas de
,
e
.
Passo 4
Cálculo de
,
e
numericamente:
Para esse valor pequeno usamos a função hiperbólica:
(Obs.: para
,
; aqui
é pequeno, então
fica próximo de
.)
Passo 5
Cálculo do fator
:
Primeiro produto geral (mostrando contas):
Primeiro produto geral (mostrando contas):
Agora
Logo
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da aleta:
Substituindo os números:
Ou seja, cada aleta (cada pino) retira aproximadamente
(6,77 mW).
Passo 7
Taxa de calor total das
aletas:
Passo 8
Agora a contribuição da base (área do topo do dissipador que não é ocupada pelos pinos):
- Área total da base:
- Área projetada ocupada pelos 36 pinos (somados):
- Área exposta da base (topo) que efetivamente troca calor por convecção:
Supondo que somente essa face superior do corpo (fora os pinos) perde calor por convecção, a potência da base é:
(Observação: se a face inferior do dissipador também estivesse exposta ao ar ou livre para convecção, deveríamos somar essa área; aqui o enunciado não dá informação, então considerei apenas a face superior entre os pinos.)
Passo 9
Potência total do dissipador (aletas + base):
Resposta
A taxa de calor entre uma aleta e o meio ambiente:
.\nA taxa de calor entre o dissipador (total aletas + base) e o meio ambiente:
.