Informe para os campos de velocidade abaixo: Se são uni, bi ou tridimensionais e diga por quê. Se são permanentes ou não permanentes e diga por quê. As quantidades a e b são constantes.
d) \vec{V}=\left\langle a x^{2}, b x z, 0\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V}=\langle a x^{2},\, b x z,\, 0\rangle,
onde a e b são constantes. As perguntas são: (1) esse campo é uni-, bi- ou tridimensional? e (2) ele é permanente (estacionário) ou não permanente? Devemos justificar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender direitinho o que significam as classificações (explicação bem prática, tipo “cola para a prova”):
  • Um campo é unidimensional quando todas as componentes não nulas dependem de uma única coordenada espacial (por exemplo, \langle u(x),0,0\rangle depende só de x).
  • Um campo é bidimensional quando as componentes não nulas dependem de duas coordenadas espaciais e não há variação na terceira coordenada (por exemplo, \langle u(x,y),v(x,y),0\rangle depende só de x e y).
  • Um campo é tridimensional quando as componentes dependem, em geral, das três coordenadas espaciais (x,y,z) (por exemplo, \langle u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)\rangle).
Regra prática para a prova: conte o número de coordenadas espaciais independentes das quais os componentes do vetor dependem. Esse número (1, 2 ou 3) determina uni/bi/tridimensionalidade. Outra observação: não é obrigatório que a componente que “falta” seja a z — o importante é o número de variáveis espaciais presentes.

Passo 3

Agora examinamos cada componente do campo dado:
V_x = a x^{2}
esta componente depende apenas de x (não depende de y nem de z).
V_y = b x z
esta componente depende de x e de z (depende de duas coordenadas espaciais).
V_z = 0
esta componente é identicamente zero (não depende de nenhuma coordenada).
Portanto, as componentes do campo dependem apenas de x e z — ou seja, dependem de duas coordenadas espaciais independentes.

Passo 4

Aplicando a regra prática do Passo 2: como as componentes do campo dependem de exatamente duas coordenadas espaciais ( x e z), classificamos o campo como bidimensional. Observação para evitar confusão: embora a componente V_z seja zero, o fato de existir dependência em z em V_y impede chamá-lo de plano estritamente em x- y; o importante é que só aparecem duas variáveis espaciais na dependência — por isso é bi e não tri.

Passo 5

Agora verificamos se o campo é permanente (estacionário). Definição prática: um campo é permanente quando não depende explicitamente do tempo t. No campo dado não aparece t em nenhuma componente; além disso a e b são constantes (o enunciado diz). Logo não há dependência temporal.

Passo 6

Conclusão rápida para a prova: o campo depende de duas coordenadas espaciais ( x e z), então é bidimensional; e não depende de t, portanto é permanente (estacionário). Dica final: na hora da prova, cheque primeiro as dependências das componentes (quais variáveis aparecem) e depois procure por t.

Resposta

Bidimensional
Permanente (estacionário)

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