Informe para os campos de velocidade abaixo: Se são uni, bi ou tridimensionais e diga por quê. Se são permanentes ou não permanentes e diga por quê. As quantidades a e b são constantes.
d)
d)
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
onde
e
são constantes. As perguntas são: (1) esse campo é uni-, bi- ou tridimensional? e (2) ele é permanente (estacionário) ou não permanente? Devemos justificar as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender direitinho o que significam as classificações (explicação bem prática, tipo “cola para a prova”):
- Um campo é unidimensional quando todas as componentes não nulas dependem de uma única coordenada espacial (por exemplo,
depende só de ). - Um campo é bidimensional quando as componentes não nulas dependem de duas coordenadas espaciais e não há variação na terceira coordenada (por exemplo,
depende só de e ). - Um campo é tridimensional quando as componentes dependem, em geral, das três coordenadas espaciais
(por exemplo, ).
Regra prática para a prova: conte o número de coordenadas espaciais independentes das quais os componentes do vetor dependem. Esse número (1, 2 ou 3) determina uni/bi/tridimensionalidade. Outra observação: não é obrigatório que a componente que “falta” seja a
— o importante é o número de variáveis espaciais presentes.
Passo 3
Agora examinamos cada componente do campo dado:
esta componente depende apenas de
(não depende de
nem de
).
esta componente depende de
e de
(depende de duas coordenadas espaciais).
esta componente é identicamente zero (não depende de nenhuma coordenada).
Portanto, as componentes do campo dependem apenas de
e
— ou seja, dependem de duas coordenadas espaciais independentes.
Passo 4
Aplicando a regra prática do Passo 2: como as componentes do campo dependem de exatamente duas coordenadas espaciais (
e
), classificamos o campo como bidimensional. Observação para evitar confusão: embora a componente
seja zero, o fato de existir dependência em
em
impede chamá-lo de plano estritamente em
-
; o importante é que só aparecem duas variáveis espaciais na dependência — por isso é bi e não tri.
Passo 5
Agora verificamos se o campo é permanente (estacionário). Definição prática: um campo é permanente quando não depende explicitamente do tempo
. No campo dado não aparece
em nenhuma componente; além disso
e
são constantes (o enunciado diz). Logo não há dependência temporal.
Passo 6
Conclusão rápida para a prova: o campo depende de duas coordenadas espaciais (
e
), então é bidimensional; e não depende de
, portanto é permanente (estacionário). Dica final: na hora da prova, cheque primeiro as dependências das componentes (quais variáveis aparecem) e depois procure por
.
Resposta
Bidimensional
Permanente (estacionário)
Permanente (estacionário)