As necessidades de água potável de um escritório precisam ser atendidas por garrafões de água. Uma ponta de uma mangueira plástica com diâmetro de 0,25 in é inserida no garrafão colocado em um suporte alto, enquanto o outro lado, com uma válvula liga-desliga, é mantido 2 ft abaixo da parte inferior do garrafão. Se o nível da água do garrafão for de 1,5 \mathrm{ft} quando cheio, determine o tempo mínimo para encher um copo de 8 onças \\left(=0,00835 \mathrm{ft}^{3}\\\right) Despreze perdas por atrito. quando o garrafão estiver quase vazio.

Passo 1

O enunciado pede o tempo mínimo para encher um copo de 8 onças, cujo volume é \,0,00835\\ \text{ft}^3. Informações dadas (peguei estes números do enunciado e da figura):
  • diâmetro da mangueira: d=0,25\\ \text{in} (dado da figura);
  • a extremidade com válvula fica 2\\ \text{ft} abaixo da parte inferior do garrafão (dado da figura);
  • quando cheio, o nível da água no garrafão é 1,5\\ \text{ft} (dado da figura);
  • desprezar perdas por atrito (enunciado);
  • volume do copo: V=0,00835\\ \text{ft}^3 (dado do enunciado).
Observação importante que vou usar: o enunciado pede o tempo quando o garrafão está quase vazio — isto significa que a superfície livre de água no garrafão está praticamente ao nível da parte inferior, de modo que a altura efetiva (cabeça) entre a superfície livre e a saída da mangueira é aproximadamente h=2\\ \text{ft} (a válvula fica 2 ft abaixo da parte inferior). Vou usar essa altura para calcular a velocidade de saída.

Passo 2

Converter o diâmetro da mangueira para pés e calcular a área da seção transversal (vamos precisar da área para obter a vazão volumétrica).
  • Converter d:
d=\frac{0,25\\ \text{in}}{12\\ \text{in/ft}}=0,020833\\ \text{ft}.
  • Raio:
r=\frac{d}{2}=0,0104167\\ \text{ft}.
  • Área da seção transversal (fórmula da área de um círculo: A=\pi r^{2}, onde r é o raio):
A=\pi r^{2}=\pi\cdot(0,0104167)^{2}.
Calculemos numericamente:
r^{2}=0,0001085069\\ \text{ft}^2, \qquad A=\pi\cdot0,0001085069\approx0,00034088\\ \text{ft}^2.

Passo 3

Determinar a velocidade de saída usando a equação de Torricelli (aplicável quando se desprezam perdas e a saída é pequena comparada ao reservatório). A fórmula é:
v=\sqrt{2gh},
onde
  • v é a velocidade de saída em \text{ft/s},
  • g é a aceleração da gravidade em \text{ft/s}^2 (vou usar g=32,2\\ \text{ft/s}^2),
  • h é a diferença vertical entre a superfície livre no reservatório e a saída.
Como estamos no caso “garrafão quase vazio”, tomei h=2\\ \text{ft}. Então:
v=\sqrt{2\cdot32,2\cdot2}=\sqrt{128,8}\approx11,35\\ \text{ft/s}.
Explicação curta do porquê: Torricelli resulta da conservação de energia (Bernoulli) entre a superfície livre (pressão atmosférica, quase zero de velocidade) e a saída; ao desprezar perdas, a energia potencial transforma-se em energia cinética.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica Q pela relação Q=A v (área vezes velocidade dá volume por unidade de tempo):
Q=A v\approx0,00034088\\ \text{ft}^2\cdot11,35\\ \text{ft/s}\approx0,003872\\ \text{ft}^3/\text{s}.

Passo 5

Calcular o tempo para encher o copo: t=\dfrac{V}{Q}, onde V é o volume do copo.
t=\frac{0,00835\\ \text{ft}^3}{0,003872\\ \text{ft}^3/\text{s}}\approx2,16\\ \text{s}.
Interpretação: quando o garrafão está quase vazio (altura efetiva h\approx2\\ \text{ft}), leva cerca de 2,16\\ \text{s} para encher o copo de 8 onças, desprezando perdas por atrito.

Passo 6

(Comentário extra de verificação) Se o garrafão estivesse cheio e a superfície estivesse 1,5\\ \text{ft} acima da parte inferior, a cabeça total até a saída seria h=1,5+2=3,5\\ \text{ft}. Para comparação rápida:
v=\sqrt{2\cdot32,2\cdot3,5}\approx15,01\\ \text{ft/s},
Q\approx0,00034088\cdot15,01\approx0,005115\\ \text{ft}^3/\text{s},
t\approx\frac{0,00835}{0,005115}\approx1,63\\ \text{s}.
Ou seja, com o garrafão cheio o copo encheria mais rápido (cerca de 1,63\\ \text{s}), o que faz sentido porque a cabeça é maior. Mas a resposta pedida, no caso “quase vazio”, é a do Passo 5.

Resposta

2,16 s

Exercícios relacionados