As necessidades de água potável de um escritório precisam ser atendidas por garrafões de água. Uma ponta de uma mangueira plástica com diâmetro de 0,25 in é inserida no garrafão colocado em um suporte alto, enquanto o outro lado, com uma válvula liga-desliga, é mantido 2 ft abaixo da parte inferior do garrafão. Se o nível da água do garrafão for de
quando cheio, determine o tempo mínimo para encher um copo de 8 onças
Despreze perdas por atrito. quando o garrafão estiver quase vazio.
Passo 1
O enunciado pede o tempo mínimo para encher um copo de
onças, cujo volume é
. Informações dadas (peguei estes números do enunciado e da figura):
- diâmetro da mangueira:
(dado da figura); - a extremidade com válvula fica
abaixo da parte inferior do garrafão (dado da figura); - quando cheio, o nível da água no garrafão é
(dado da figura); - desprezar perdas por atrito (enunciado);
- volume do copo:
(dado do enunciado).
Observação importante que vou usar: o enunciado pede o tempo quando o garrafão está quase vazio — isto significa que a superfície livre de água no garrafão está praticamente ao nível da parte inferior, de modo que a altura efetiva (cabeça) entre a superfície livre e a saída da mangueira é aproximadamente
(a válvula fica 2 ft abaixo da parte inferior). Vou usar essa altura para calcular a velocidade de saída.
Passo 2
Converter o diâmetro da mangueira para pés e calcular a área da seção transversal (vamos precisar da área para obter a vazão volumétrica).
- Converter
:
- Raio:
- Área da seção transversal (fórmula da área de um círculo:
, onde é o raio):
Calculemos numericamente:
Passo 3
Determinar a velocidade de saída usando a equação de Torricelli (aplicável quando se desprezam perdas e a saída é pequena comparada ao reservatório). A fórmula é:
onde
-
é a velocidade de saída em , -
é a aceleração da gravidade em (vou usar ), -
é a diferença vertical entre a superfície livre no reservatório e a saída.
Como estamos no caso “garrafão quase vazio”, tomei
. Então:
Explicação curta do porquê: Torricelli resulta da conservação de energia (Bernoulli) entre a superfície livre (pressão atmosférica, quase zero de velocidade) e a saída; ao desprezar perdas, a energia potencial transforma-se em energia cinética.
Passo 4
Calcular a vazão volumétrica
pela relação
(área vezes velocidade dá volume por unidade de tempo):
Passo 5
Calcular o tempo para encher o copo:
, onde
é o volume do copo.
Interpretação: quando o garrafão está quase vazio (altura efetiva
), leva cerca de
para encher o copo de
onças, desprezando perdas por atrito.
Passo 6
(Comentário extra de verificação) Se o garrafão estivesse cheio e a superfície estivesse
acima da parte inferior, a cabeça total até a saída seria
. Para comparação rápida:
Ou seja, com o garrafão cheio o copo encheria mais rápido (cerca de
), o que faz sentido porque a cabeça é maior. Mas a resposta pedida, no caso “quase vazio”, é a do Passo 5.
Resposta
2,16 s